vectores

En matemáticas, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto, definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático), cumpliendo una serie de propiedades o requisitos iniciales.
A los elementos de un espacio vectorial se les llamavectores y a los elementos del cuerpo, escalares.
Definición de espacio vectorial
Un espacio vectorial sobre un cuerpo (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto no vacío, dotado de dos operaciones:

Con la operación interna tal que:
1) tenga la propiedad conmutativa, es decir

2) tenga la propiedad asociativa, es decir

3) tenga elemento neutro , esdecir

4) tenga elemento opuesto, es decir

y la operación producto por un escalar:

operación externa tal que:
5) tenga la propiedad:

6) tenga elemento neutro 1:

Que tenga la propiedad distributiva:
7) distributiva por la izquierda:

8) distributiva por la derecha:


Definición de espacio vectorial
Un espacio vectorial sobre un cuerpo (como el cuerpo de los números realeso los números complejos) es un conjunto no vacío, dotado de dos operaciones:

Con la operación interna tal que:
1) tenga la propiedad conmutativa, es decir

2) tenga la propiedad asociativa, es decir

3) tenga elemento neutro , es decir

4) tenga elemento opuesto, es decir

y la operación producto por un escalar:

operación externa tal que:
5) tenga la propiedad:

6) tengaelemento neutro 1:

Que tenga la propiedad distributiva:
7) distributiva por la izquierda:

8) distributiva por la derecha:









Norma vectorial
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Un vector es un elemento de un espacio vectorial del que, en ocasiones, especialmente en Física y Geometría, interesa conocer su longitud. Para ello se hacenecesario definir un operador norma que determine la longitud o magnitud del vector bajo consideración ya que este acto, pese a lo que pudiéramos creer, no es un problema trivial; especialmente desde la aparición de las geometrías no euclídeas para las que aparece, asociada al concepto de longitud, la noción de geodésica. Para ampliar estas ideas conviene conocer la geometría riemanniana y la geometríadiferencial.
Por tanto, basándonos en las propiedades básicas que la determinación de la longitud tiene en el espacio euclídeo habitual, definimos matemáticamente qué condiciones mínimas debe satisfacer un operador que actúe sobre un vector para poder ser considerado un operador norma en cualquier geometría. De esta forma, aparecen varias posibilidades que han sido muy fructíferas en diversoscampos entre los que cabe destacar la Astrofísica y la Cosmología.
En espacios vectoriales es sinónimo de longitud de un vector.



Definición de norma euclídea
En un espacio euclídeo ordinario los vectores son representables como segmentos orientados entre puntos de dicho espacio. Dado un vector de un espacio vectorial euclídeo, la norma de un vector se define como la distancia (en línea recta)entre dos puntos A y B que delimitan dicho vector. De hecho, en un espacio euclídeo la norma de un vector coincide precisamente con el módulo del vector .
En dos dimensiones:
siendo y y O el origen de coordenadas de dicho espacio.
Extendiendo lo anterior al espacio euclídeo de tres dimensiones, es también elemental que:
siendo y
En el caso general de un espacio euclídeo de n dimensiones setiene:
siendo y .
De lo anterior se sigue que, fijada una base ortonormal en la que un vector viene dado por sus componentes en esta base, , entonces la norma de dicho vector viene dada por:

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Vectores en el plano

El plano cartesiano permite asociar a cada punto del plano, un par ordenado de números reales, que son sus coordenadas rectangulares, como en la figura de la derecha....