Vectores

CAPÍTULO 1

Vectores en Rn y Cn
1.1. Conceptos básicos

Los objetos que consideraremos son vectores en Rn o en Cn , es decir, n−tuplas de números reales,( o números complejos)
Rn = {(x1 , x2 , . . . , xn ) : xi ∈ R} Cn = {(z1 , z2 , . . . , zn ) : zi ∈ C}

Estos vectores los escribiremos como columna, es decir, v ∈ Rn y w ∈ Cn son objetos del tipo:
   x1 z1  z2   x2      v= . , w=.  .  . . . xn zn 

Con esta notación el vector la (x1 , x2 , . . . , xn ) es el vector transpuesto del vector columna v , que lo denotaremos por v t , es decir,
v t = x1 x2 . . . xn , wt = z1 z2 . . . zn

En otras palabras, si v es un vector columna su respectivo vector transpuesto v t es un vector la y viceversa. Los números xi los llamaremos las componentes del vector , seaeste de tipo la o de tipo columna. Similarmente para Cn . En Rn se dene una suma, llamada suma

vectorial,

de la siguiente manera:

     x1 y1 x1 + y1  x2   y2   x2 + y2         . + . = .  .   .  .  . . . xn yn xn + yn

Esto es, la suma de dos vectores v, w ∈ Rn produce un nuevo vector (v + w) ∈ Rn que tiene por componentes la suma de los componentes decada uno de ellos. Notemos que la suma de cada componente corresponde a la operación suma de números reales.
1

2

1. VECTORES EN

Rn

Y

Cn

a:

Otra operación denida para vectores es la multiplicación por escalar, que corresponde
   x1 αx1  x2   αx2      α .  =  .  .  .   . . xn αxn 

donde α es un número real y el producto que aparece en cada componente esel producto entre números reales. A lo largo de estas notas usaremos la notación e1 , e2 , . . . , en para denotar los n vectores canónicos de Rn ,      
1 0 0 0 1 .     . 0 0 . e1 =   , e2 =   , . . . , en = 0 . .   . . 0 . . 0 0 1

Estas dos operaciones, siguientes propiedades:

suma y producto por escalar

en Rn (o Cn ) satisfacen las

S1[Asociatividad.] Para todo u, v, w se tiene que:
u + (v + w) = (u + v) + w .

Esta propiedad que parece tan inocua es muy importante pues permite denir la suma para más de dos vectores. Inicialmente la suma se dene para dos vectores. Para tres vectores se dene como
u + v + w = (u + v) + w,

es decir, se suman los dos primeros y el vector resultante se suma al tercero. Lo que dice la propiedadasociativa es que el orden de como se asocie los vectores no cambia el resultado . Esta propiedad se hereda de la correspondiente propiedad que tiene la operación suma en los números reales. S2 [Conmutatividad.] Para todo par de vectores u, v se tiene que u + v = v + u. Propiedad que se hereda de la conmutatividad de la suma de números reales. S3 [Vector nulo.] El vector nulo, o vector cero, quese denota por 0 para distiguirlos del 0 número real, es el vector en Rn cuyas componentes son todos 0, es decir, 0 = 0 0 0 . Este vector es único y tiene la propiedad siguiente:
v + 0 = v , para todo v ∈ Rn .

S4 [El

Todo vector tiene un inverso aditivo , que denotaremos por in(v) . Este vector es único y tiene la propiedad de que
v + in(v) = 0 = in(v) + v

inverso aditivo.]

M1[Asociatividad.] Para todo par de números reales α, β y para todo vector v ∈ Rn se satisface que
(αβ)v = α(βv)

1.1. CONCEPTOS BÁSICOS

3

M2 Para todo α, β ∈ R y para todo v ∈ Rn ,
(α + β)v = αv + βv

M3 [Distributividad] Para todo α ∈ R y para todo v, w ∈ Rn
α(v + w) = αv + αw

M4 El número real 1 tiene la propiedad siguiente:
1 v = v para todo v en Rn .

Estas operaciones con laspropiedades descritas proveen a Rn ( o Cn ) una estructura de Espacio Vectorial, la cual se puede denir sobre conjuntos más abstractos, como veremos más en detalle durante el desarrollo de los próximos capítulos. A partir de estas propiedades se deducen los siguientes resultados:
Proposición

1.1.

En

Rn se tiene que:

Rn por el escalar cero se obtiene el vector cero, es decir, 0v = 0 para...