vectores






ALGEBRA LINEAL

VECTORES

Septiembre 2009

I.Q. MGTVE




La localización de puntos en el plano se estudia en el marco de un sistema de coordenadas. Por ejemplo, en la figura 1, cada uno de los puntos en el plano se localiza usando un sistema de coordenadas rectangulares. El punto A es el punto (6, 7).
Además A se encuentra a cierta distancia en determinada dirección apartir del origen (0, 0). La distancia y la dirección se caracterizan por la longitud y la dirección del segmento de recta que va del origen O a A. A dicho segmento de recta dirigido se llama vector de posición, el cual se denota OA. “O” recibe el nombre de punto inicial de OA, y “A” recibe el nombre de punto terminal. Existen dos formas de interpretar (6, 7); se define como la localización de unpunto en el plano o como un vector de posición OA.

Fig. 1
Se denota con R2 el conjunto de pares ordenados de números reales. Observe el significado de ordenado aquí, ya que (6, 7) no es el mismo vector que (7, 6). El orden es importante.
Estos conceptos se pueden extender a arreglos de tres números reales, como (3, 5, 3), que se puede interpretarde dos formas: como la localización de un punto en el espacio de tres dimensiones con respecto a un sistema de coordenadas xyz, o como un vector de posición. Estas interpretaciones se muestran en la figura 2. Se denotará con R3 al conjunto de tripletas ordenadas de números reales.

Fig. 2 Interpretación en R3 de (3, 5, 3)

De manera general podemos definir lo siguiente:
Definición.
Sea u =(u1, u2, …, un) una sucesión de n números reales. Dicha sucesión u se denomina vector y el conjunto de estas sucesiones recibe el nombre de espacio en n y se denota como Rn.
u1 es la primera componente de (u1, u2, …, un). u2 es la segunda componente, y así sucesivamente.
Los elementos de Rn se suelen interpretar como puntos en el espacio n o como vectores de posición en el espacio n. Considerandoeste esquema, se denota R al conjunto de los números reales.

Definición.
Igualdad de vectores.
Sean u = (u1, u2, …, un) y v = (v1, v2, …, vn) dos elementos de Rn. Se dice que u y v son iguales si u1 = v1, u2 = v2, …, un = vn. Así, dos elementos de Rn (vectores) son iguales si sus componentes correspondientes son iguales.

Definición.
Sean u = (u1, u2, …, un) y v = (v1, v2, …, vn) elementosde Rn y sea c un escalar. La adición y la multiplicación por un escalar se definen de la siguiente manera:
Adición: u + v = (u1 + v1, u2 + v2, …, un + vn)
Multiplicación por un escalar: cu = (cu1, cu2, …, cun)
Para sumar dos elementos de Rn se suman los componentes correspondientes. Para multiplicar un elemento de Rn por un escalar, se multiplica cada componentepor el escalar. Observe que los elementos resultantes pertenecen a Rn. Se dice que Rn es cerrado bajo la adición y bajo la multiplicación por un escalar.

Fig. 3
En la figura 3 puede observarse que la dirección del vector depende del signo del escalar. Sea u un vector y c un escalar. La dirección de cu es la misma que la de u si c > 0, y la dirección es opuesta a u si c < 0. La longitud de cues |c| veces la longitud de u.
Vector negativo.
El vector (-1)u se escribe –u y recibe el nombre de negativo de u. Se trata de un vector con la misma magnitud que u, pero en dirección opuesta a u.

Vector cero.
El vector (0, 0, …, 0) que tiene n componentes iguales a cero, recibe el nombre de vector cero de Rn y se denota 0. Por ejemplo, (0, 0, 0) es el vector cero de R3.

Teorema 1.
Seanu, v y w vectores en Rn, y c y d escalares. Entonces:
a) u + v = v + u Propiedad conmutativa.
b) u + (v + w) = (u + v) + w Propiedad asociativa de la suma
c) u + 0 = 0 + u = u Elemento neutro de la suma.
d) u + (-u) = 0
e) c(u + v) = cu + cv Propiedad distributiva por un escalar
f) c(du) = (cd)u Propiedad asociativa para el producto.
g) 1u = u Elemento identidad para el...