Vectores

Magnitudes escalares y vectoriales
Tipos de vectores
Operaciones con vectores libres
Momento de un vector deslizante respecto a un punto
Momento de un vector deslizante respecto a un eje

Magnitudes escalares

Magnitud perfectamente definida por su valor
numérico

Abstractas. No tienen
refracción, rendimiento
Concretas.
Tienen
temperatura (K)

unidades:

índiceunidades:masa

de
(kg),

Magnitudes vectoriales

Magnitud perfectamente definida cuando se
conoce, además de su valor numérico, la
dirección sobre la que actúa y sentido: velocidad
(m/s), fuerza (N), momento de una fuerza (N·m),
...

Ti
Tipos de vectores

Libres: Se conoce módulo, dirección y sentido.
Punto de aplicación es cualquiera en el espacio.

Dos vectores libres son iguales sison
superponibles mediante una traslación en el
espacio

Ti
Tipos de vectores

Deslizantes: Se conoce módulo, dirección, sentido
y recta soporte. El punto de aplicación es
cualquiera sobre la recta soporte.

Dos vectores deslizantes son iguales si son
superponibles mediante un deslizamiento a lo largo
de la recta soporte

Ti
Tipos de vectores

Localizados: Se conoce módulo,dirección, sentido
y punto de aplicación.

Dos vectores localizados sólo pueden ser iguales a
sí mismos

Representación vectorial 2D
Y

v
v cos β

β

α

v cos α

X

Representación vectorial 3D
3D
Z

v

v c os γ
cos
γ

v cos α
X

β

v cos β

Y

Componentes de un vector
Proyección del vector sobre un eje

v
α

v cos α
c os

Vectores unitarios

Unvector unitario es un vector sin unidades de módulo
unidad; se utilizan para especificar la dirección y sentido

El vector unitario que especifica la dirección y sentido de
un vector se calcula mediante el cociente entre dicho
vector y su módulo

Vectores unitarios
Los vectores unitarios, sobre los ejes cartesianos se
expresan por

i , j, k

Operaciones con vectores libres
Operacionescon vectores libres

Suma gráfica de vectores
Regla del paralelogramo (2 vectores)

A+ B =C
B
A

C

El vector suma es la diagonal del paralelogramo
formado por los dos vectores

Suma gráfica de vectores

A+ B =C
B

A
En el extremo del primero se sitúa el origen del segundo

La suma es un vector cuyo origen es el origen del primero y
su extremo es el extremo del segundoSuma gráfica de vectores

Cuando se tienen muchos
vectores se repite el proceso
hasta que se incluyen todos
los vectores

D

C

A+ B+C + D
B
A

Suma de vectores. Componentes
La proyección del vector
suma sobre un eje, es la
suma de las proyecciones
de los vectores sobre
dicho eje

Cx = Ax + Bx

B

By

A
Ay

C

C y = Ay + By
Ax

Bx

Propiedades de la suma.Conmutativa

A+ B = B + A
Representación gráfica

A

B

B

A

Propiedades de la suma. Asociativa

A + ( B + C ) = ( A + B) + C
A + (B + C)
B+C

C

( A + B) + C
A+ B

B

B

A

A
Representación gráfica
gráfica

C

Multiplicación de un vector por un escalar

El resultado es un vector cuyo módulo es el producto del
escalar por el módulo del vector

Si elescalar es positivo, la dirección y sentido son los
mismos que los del vector original

Si el escalar es negativo, la dirección del resultado es la
misma que la del vector original, pero su sentido es
opuesto

Multiplicación de un vector por un escalar

n

v
nv
A

O

nv
nv
n0
n>0

Producto escalar de dos vectores

v1

Es
Es un escalar

El valor del producto escalar de dosvectores es el producto de los módulos
por el coseno del ángulo que forman los
vectores

v1 ·v2 = v1 v2 cos α

α

v2

Propiedades del producto escalar
1. Conmutativa
1. Conmutativa

v1 ⋅ v2 = v2 ⋅ v1
v1 ⋅ v2 = v2 ⋅ v1
2. Asociativa respecto al producto por un escalar
2. Asociativa respecto al producto por un escalar

n ( v1 ⋅ v2 ) = ( nv1 ) ⋅ v2 = ( nv2 ) ⋅ v1
n(v1 ⋅ v2 )...