Vectores

CAPITULO 2 MATEM ÁTICAS PARA LA FÍSICA

2.1 2.1.1

Vectores. Introducción.

2.1.2 Lo

Vector. definiremos como elementos que

Cuando queremos referirnos al tiempo que demanda un suceso determinado, nos basta con una magnitud (se demoró 3 segundos, saltó durante 1 minuto, volverá el próximo año, etc.). Existen muchas magnitudes físicas que pueden describirse perfectamente de esta manerasimple, y que reciben el nombre de escalares. Son escalares el tiempo, la masa, la densidad, el volumen, la temperatura y otras magnitudes que luego definiremos apropiadamente. También existen magnitudes como el

poseen tres atributos: magnitud, dirección y sentido Los vectores son elementos abstractos, pero pueden representarse en el espacio a través de segmentos dirigidos (flechas) cuyalongitud es proporcional a la del vector representado.

A
origen
Fig 2. 1

extremo

Representación gráfica de un vector

2.1.3

Vectores equipolentes.

desplazamiento, la fuerza, la aceleración y otras, que para quedar perfectamente descritas necesitan dirección, además de la magnitud (¡camine 5 metros!, es una solicitud muy ambigua que puede conducir a una posición final distinta paracada persona que la reciba; en cambio, ¡camine 5 metros por Alameda hacia el Este! producirá exactamente el efecto requerido).

Dos vectores son equipolentes si son iguales sus respectivas magnitudes direcciones y sentidos. Esta definición, que implica que un vector puede estar en cualquier punto del espacio sin alterar sus características, define a los vectores libres.

C

A
Estas magnitudesse denominan

B D

vectoriales, y operan según el Álgebra Vectorial que recordaremos brevemente a continuación.
Fig 2. 2 Vectores equipolentes:

A=B=C=D

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2.1.4

Vectores opuestos.

En

el

caso

de

dos

vectores un

esteprocedimiento Dos vectores son opuestos cuando sus magnitudes y sus direcciones son iguales y sus sentidos son opuestos.

produce

triángulo

formado por los vectores y la resultante. Otra forma gráfica de sumar dos vectores consiste en unir los orígenes y trazar líneas auxiliares paralelas a los vectores, que pasen por el extremo del otro.

A B
Fig 2. 3 Vectores opuestos:

A=- B

Laresultante es el vector que une los orígenes comunes con la intersección de las paralelas auxiliares (método del

2.1.5

Ponderación de Vectores.

paralelogramo). El producto entre un escalar m y un vector
A se conoce como ponderación del vector.

A

R

A B = 2A
Fig 2. 4

A
B
Fig 2. 6

Resultante: Método del Paralelogramo

Ponderación de vectores: B=2A

Note que el orden de lasuma no afecta el resultado, mostrando que es conmutativa:

2.1.6

Suma gráfica de vectores.

A+ B =B+A

Gráficamente la suma o RESULTANTE de vectores se obtiene uniendo sucesivamente los extremos y orígenes de ellos, como se muestra en la figura. El vector suma o resultante se obtiene uniendo el primer origen con el último extremo.

Si sumamos los vectores A, B y C de la figuraanterior a través del método del paralelogramo, veremos claramente que:

( A + B ) + C = A + (B + C )
Mostrando que la suma es asociativa (se recomienda comprobarlo gráficamente).

B A R
Fig 2. 5
Resultante:

C

Por otra parte, es innecesaria la definición de resta, pues claramente A-B es la suma de A y el opuesto de B .
A- B = A + -B

A+B+C=R

( )
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−B R A
Fig 2. 9 Fig 2. 7

ˆ A ˆ A = AA
Vector Unitario en la dirección de

A

Resta de vectores = suma del opuesto

Si consideramos el paralelogramo que resulta de los vectores A y B y las paralelas auxiliares, observamos que la suma y la resta de ambos vectores constituyen...