Vectores

Cuando entramos en el mundo de la geometría algebraica hay que tener en cuenta que está construida sobre el ‘’plano geométrico’’ y el ‘espacio geométrico’’ (según que la dimensión sea dos o tres),que también se suelen llamar plano afín y espacio afín. La cuarta dimensión se tratará más adelante.
El espacio afín (tridimensional) está constituido por un conjunto E3, (a cuyos elementos se lesllama puntos), el espacio vectorial R3 y una aplicación, que a cada par de puntos (P, Q) le asigna un vector v de R3, que se denota:
v=PQ
De manera que se verifiquen las dos condiciones siguientes:Para cada P∈ E3 y cada v∈R3 existe un y sólo un Q∈E3 que satisface la expresión anterior.
Dados tres puntos P, Q, R∈ E3 se verifica que:
PQ+QR=PR (teorema de Chasles)
Q

Q

PQ+QR

PQ+QRQ
Q
PQ
PQ
PQ
PQ

R
R
P
P
PQ+QR
PQ+QR
P
PAdemás, el espacio afín E3 (o el plano afín E2) se dice que es euclídeo si se dispone del producto escalar entre sus vectores libres, estoes, si al espacio vectorial R3(o R2) se le considera con su estructura euclídea.
Coordenadas cartesianas.
Dados un punto O (origen) de E3 y si (e1,e2,e3) es una base de R3, se dice entonces que(O;e1,e2,e3) es una referencia cartesiana de E3. Cuando la base es ortonormal, se la llamará rectangular. Se llaman coordenadas cartesianas de un punto X∈ E3 respecto de dicha referencia a lascoordenadas (x1,x2,x3) del vector OX en la base (e1,e2,e3).
Todo lo anterior es válido para el plano E2 y, en definitiva, para cualquier espacio afín En de dimensión¹ finita n si se sustituye R3 por Rn,(e1,e2,e3) por (e1,e2,…,en) y (x1,x2,x3) por (x1,x2,…,xn).

¹: Dimensión: Se dice que un espacio afín E tiene dimensión n∈N si su espacio vectorial asociado V tiene dimensión n. Si n=1, se dice que...