Vectrores, rectas y planos

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Nolan Jara J. VECTORES

FCE-UNAC

Definición de puntos en un espacio de n dimensiones. Se define un punto en el espacio de n dimensiones como la n-upla de números reales ( x1 , x2 ,......, xn ); x1 , x2 ,......, xn denota con una P a dicha n-upla. Es decir:

R ;se R ;se

P

( x1 , x2 ,......, xn ); x1 , x2 ,......, xn

designa a los números reales x1 , x2 ,......, xn como lascoordenadas del punto P. Ahora vamos a definir como sumar puntos. Si P y Q son puntos por ejemplo:

P

( x1 , x2 ,......, xn ); Q ( x1 y1 , x2

y1 , y 2 ,......, y n ) se define entonces: yn ) cP R (cx1 , cx 2 ,......, cx n )

P Q

y 2 ,......, xn

Si c es cualquier número, se define

VECTORES EN EL ESPACIO ( R3 o V3 ) : Dos puntos: P0

( x0 , y 0 , z 0 )

y P 1

( x1 , y1 , z1 )determinan un segmento de recta que podría ser recorrido en dos sentidos uno de P 0 a P1 y otro de P1 a P0 llamados vectores
a y a.

a

P0 P 1 P0

P1 Definido como

a

P0 P 1

P 1

P0

a

P0 P 1

(P 1

P0 )

P0

P 1

a P0

P0 P 1

P1

a1
Donde:
a P0 P 1 (P 1 P0 ) (a1 , a2 , a3 )

x1 y1 z1

x0 y0 z0

tal que:

a2 a3

Los números a1 , a 2 , a3 se llaman,componentes del vector a es el punto inicial del vector a; P1

P0 P donde: P0 1

( x0 , y 0 , z 0 )

( x1 , y1 , z1 ) es el punto final del vector a .
P recibe el nombre de

Cuando el punto inicial es el origen de coordenadas, un vector OP radio vector.

-1-

Nolan Jara J.

FCE-UNAC

IGUALDAD DE VECTORES. Dos vectores a

PQ (a1 , a2 , a3 ) y b

RS

(b1 , b2 , b3 )

Soniguales, si y solo si sus respectivas componentes son iguales, es decir:
a b a1 b1 , a 2 b2 , a3 b3 (a1 , a 2 , a3 ); b (b1 , b 2 , b3 )

OPERACIONES CON VECTORES.- dados los vectores a Entonces: 1º) a 2º) a 3º) r a
b b (a1 b1 , a 2 (a1 b1 , a 2 b 2 , a3 b 2 , a3 b3 ) b3 ) a ( b)

(ra1 , ra 2 , ra 3 ) producto de un vector por un escalar r

VECTORES PARALELOS: Dos vectores son paralelos si ysolo si uno de ellos es el múltiplo escalar del otro. Es decir:
a b a r b ;o b t a; r , t R

MODULO DE UN VECTOR: Si a

P0 P entonces: 1

d ( P0 , P ) 1

( x1

x0 ) 2

( y1

y0 ) 2

( z1

z0 ) 2

a12

2 a2

2 a3

a

El modulo del vector a

( a1 , a 2 , a 3 ) se denota y define como:
2 a3

a

2 a1

2 a2

PROPIEDADES: Sean a
( a1 , a 2 , a3 ); b (b1 , b2 ,b3 ), r

; entonces:

i)

a

0; a

0

a

(0,0,0)

-2-

Nolan Jara J.

FCE-UNAC

ii)

r a

r

a

iii)

a

b

a

b

desigualdad triangular

VECTOR UNITARIO: Un vector de moduelo o longitud igual a 1 se llama vector unitario. Dado un vector a . El vector unitario u
a a

tiene el mismo sentido que el vector a

El vector unitario u

a a

tiene sentidoopuesto que el vector a

PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES: (o PRODUCTO INTERNO): El producto escalar de a
( a1 , a 2 , a3 ) y b (b1 , b2 , b3 ) se denota y define como:

a .b

a1 .b1

a 2 .b2

a3 .b3
3

PROPIEDADES: Sean a , b , c vectores en 1º) a . b

yr

entonces:

b.a

2º) (r a ). b 3º) a .( b c ) 4º) a . a

r (b . a ) a.b a. c

0

a

0
2

5º) a . a

a

-3- Nolan Jara J.
2 2 2

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6º) a b 7º)

a

a

2 a.b

a ( b .c ) ( a .b ) c

Ortogonalidad de vectores: Dos vectores a Son ortogonales por definición si: a

( a1 , a 2 , a3 ) y b

(b1 , b2 , b3 )

b

a

b

o también.

a

b

a .b

0
2 2 2

a

b

a b

a

b

Proyección Ortogonal y Componente: se llama proyección ortogonal de a sobre b , alVector:

Pr oy
b

a

a.b
2

b

; b

0

b

a

Pr oy a
b

a.b b

b2

b

-4-

Nolan Jara J.

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Se llama componente de a sobre b al número real:

Comp a
b

a .b b

; b

0

Obs. Como Pr oy a
b

a .b
2

b =

a .b b

b b

b

1º Pr oy a
b

comp a
b

b b

2º Pr oy a
b

comp a
b

ANGULOS ENTRE VECTORES. Dado los vectores a y b...
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