Vectrores

VECTORES: MÓDULO, DIRECCIÓN Y SENTIDO
Un vector es un segmento de recta orientado.
Un vector se caracteriza por:
1) su módulo, que es la longitud del segmento.
2) su dirección, que viene dada por la recta que pasa por él o cualquier recta paralela.
3) su sentido, que es uno de los dos sentidos posibles sobre la recta que pasa por él.

Un vector no tiene una ubicación definida; puedetrasladarse a cualquier lugar del plano sin modificar
ni su módulo, ni su orientación (dirección y sentido). Por esta razón se dice que los vectores son
libres.
Los vectores se expresan con una letra minúscula o con dos letras mayúsculas, su origen y su
extremo respectivos. Por ejemplo,
indica el vector que tiene origen en el punto P y extremo
en el punto Q.

Siempre que sea posible, pondremosuna flecha encima para indicar que se trata de un vector.
Los vectores sirven para representar magnitudes geométricas y físicas que tienen módulo, dirección
y sentido, como traslaciones, velocidades y fuerzas.
Como lo que caracteriza a un vector es su módulo, su dirección y su sentido, dos vectores son
iguales si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.

SUMA DE DOSVECTORES
La suma de dos vectores

y

es otro vector

obtenido de la siguiente forma:

1) ponemos a continuación de , haciendo coincidir el origen de
2) el origen de la suma
es el origen de
3) el extremo de la suma
es el extremo de
Es decir,
es el vector que va desde el origen de
hemos puesto a continuación de .

con el extremo de

hasta el extremo de

cuando

Si

y

,entonces

. Es decir,

.

Si sumamos un vector con su opuesto obtenemos un vector reducido a un punto (su
origen y extremo coinciden); se trata del vector nulo o vector cero que se expresa

+ (-

)=

PROPUESTA DE TRABAJO
Te dan los vectores

Realiza en tu libreta de trabajo las siguientes sumas:
+
+

,
,

+
+

,
,

+
+

,

+

,

y

+

CONMUTATIVIDAD DE LA SUMASUMA DE VECTORES UTILIZANDO LA REGLA DEL
PARALELOGRAMO
Si para sumar dos vectores, y , en lugar de colocar a continuación de
colocamos a continuación de , tal como está hecho en la parte inferior de la figura
de la derecha, observamos que el resultado es el mismo vector.
Esta construcción pone de manifiesto que la suma de dos vectores es conmutativa:
+

=

+

:

Esta propiedadconmutativa permite realizar la suma de dos vectores utilizando la
llamada REGLA DEL PARALELOGRAMO:
1) Dibujamos los dos vectores y
con el mismo origen
2) Completamos un paralelogramo trazando:
- por el extremo del vector un segmento de recta paralelo al vector
- por el extremo del vector un segmento de recta paralelo al vector
3) La suma de los dos vectores es la diagonal orientada delparalelogramo obtenido

PROPUESTA DE TRABAJO
Te dan los mismos vectores que en la actividad anterior

Utilizando ahora la regla del paralelogramo, realiza en tu cuaderno de trabajo las mismas sumas de
la actividad anterior
( + ,
+ ,
+ ,
+ ,
+ ,
+ ,
+
y
+ ) y compara los resultados.

ASOCIATIVIDAD DE LA SUMA
Si pretendemos sumar tres vectores, , y , tenemos dos posibilidades:
1) Sumary , y al resultado sumarle . Esta operación se indica ( + ) +

.

2) Sumar

con el resultado de sumar

y

. Esta operación se indica

+(

+

).

La figura muestra que el resultado es el mismo, es decir
( + )+
=
+( + )

Esta es la propiedad ASOCIATIVA de la suma de vectores. Gracias a esta propiedad
podemos escribir
+ +
en lugar de ( + ) + , o de + ( + ).
PROPUESTA DETRABAJO
Te dan los mismos vectores que en la actividad anterior

Realiza en tu libreta de trabajo las siguientes sumas:
(

+

)+

y

+(

+

). Comprueba que el resultado es el mismo.

(

+

)+

y

+(

+

). Comprueba que el resultado es el mismo.

CONMUTATIVIDAD DE LA SUMA DE TRES O MÁS VECTORES En la actividad
anterior vimos que podemos escribir + +
en lugar de...