vernier
MOISES VILLENA
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Definición
Enfoque geométrico
Igualdad
Operaciones
Aplicaciones
Objetivos.
Se persigue que el estudiante:
•
•
•
•
•
Represente geométricamente un vector de R 3
Determine magnitud y dirección de un
vector.
Sume vectores, multiplique por un escalar a
un vector, obtenga el productor escalar y el
productovectorial entre vectores
Obtenga el área de un paralelogramo
sustentados por dos vectores.
Obtenga el volumen del paralelepípedo
sustentado por tres vectores.
1
Vectores en R3
MOISES VILLENA
Tomando como referencia la teoría de vectores en el plano, se obtienen
definiciones y propiedades de los vectores en el espacio.
1.1 DEFINICIÓN
Un vector de R 3 es una terna ordenada de
númerosreales. Denotada de la siguiente manera:
→
v = ( x, y , z )
1.2 ENFOQUE GEOMÉTRICO
Geométricamente a un vector de R
como un segmento de recta dirigido.
3
se lo representa en el Espacio
Suponga que se tienen los puntos P ( x1 , y1 , z1 ) y P2 ( x2 , y 2 , z 2 ) . Si
1
trazamos un segmento de recta dirigido desde P
1
→
hacia P2 tenemos una
⎯
⎯→
representación delvector v = P P2 = ( x2 − x1 , y 2 − y1 , z1 − z 2 )
1
z
P2 = ( x2 , y 2 , z 2 )
→
v
P1 = ( x1 , y1 , z1 )
y
x
Este vector puede tener muchas otras representaciones equivalentes en
el espacio. Una representación equivalente útil es aquella que se realiza
ubicando al vector con el origen como punto de partida.
z
P ( x, y , z )
→
v
y
x
2
Vectores en R3
MOISESVILLENA
1.2.1 Magnitud o norma
→
Sea v = ( x, y, z ) . La magnitud o norma de v
→
→
denotada como v , se define como:
→
v = x2 + y2 + z 2
Note que la norma sería la longitud del segmento de recta que define el
vector. Es decir, sería la distancia entre los puntos que lo definen.
→
Para v = ( x2 − x1 , y 2 − y1 , z 2 − z1 ) sería:
→
v =
(x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2+ (z 2 − z1 )2
1.2.2 Dirección
→
La dirección de v = ( x, y, z ) está definida por la
medida de los ángulo que forma la línea de acción
del segmento de recta con los ejes x , y , z
z
→
γ
α
v
β
y
x
Los ángulos α , β y γ son llamados Ángulos Directores.
3
Vectores en R3
MOISES VILLENA
Observe que:
Cosα =
x
→
=
v
y
Cosβ =
→
y
→
x2+ y2 + z2
y
=
x + y2 + z2
2
v
Cosγ =
x
y
=
x2 + y2 + z2
v
Ejercicio.
Demostrar que cos
2
α + cos 2 β + cos 2 γ = 1
1.2.3 Sentido
→
El sentido de v lo define la flecha dibujada sobre
el segmento de recta.
1.3 IGUALDAD DE VECTORES DE R
3
→
→
Dos vectores v1 = (x1 , y1 , z1 ) y v2 = (x2 , y 2 , z 2 ) son
iguales si y sólo si x1 = x2 , y1= y2 y z1 = z 2
1.4 OPERACIONES
1.4.1 Suma
→
→
3
Sean v1 y v2 dos vectores de R tales que
→
→
v1 = ( x1 , y1 , z1 ) y v2 = ( x2 , y2 , z 2 ) entonces la
→
→
→
→
suma de v1 con v2 , denotada como v1 + v2 , se
define como:
→
→
v1 + v2 = ( x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z 2 )
4
Vectores en R3
MOISES VILLENA
1.4.1.1 Propiedades
→
→
→
Sean v1 ,v2 y v3 vectores de R 3 , entonces:
→
→
→
→
1.
v1 + v2 = v2 + v1
2.
→
→
→
→
→
→
v1 + ⎛ v2 + v3 ⎞ = ⎛ v1 + v2 ⎞ + v3
⎟
⎟ ⎜
⎜
⎠
⎠ ⎝
⎝
→
3.
la suma es conmutativa
→
→
la suma es asociativa
→
→
∃ 0 ∈ R , ∀ v ∈ R tal que v + 0 = v ,
3
3
→
Donde 0 = (0,0,0 ) es llamado Vector Neutro
→
→
→
→
∃⎛ − v ⎞ ∈ R 3 tal que v + ⎛ − v ⎞ = 0∀v∈R , ⎜ ⎟
⎜
⎟
⎝ ⎠
⎝
⎠
→
4.
3
⎛
⎝
→
⎞
⎠
→
Donde ⎜ − v ⎟ es llamado Vector Inverso Aditivo de v
Geométricamente:
v
+
v
1
→
v1 = ( x1 , y1 , z1 )
→
2
→
z
→
v2 = (x2 , y 2 , z 2 )
y
x
→
→
Los vectores v1 y v2 sustentan un paralelogramo, el vector de la
diagonal mayor es el Vector Suma y el vector de la diagonal menor es el...
Regístrate para leer el documento completo.