Viaje al texto literario

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Trigonometria (tratto dal sito “Compito in classe di Matematica” di Gilberto
Mao)

Teoria in sintesi
Radiante: angolo al centro di una circonferenza che sottende un arco di lunghezza rettificata uguale al raggio Si passa dai gradi ai radianti con la seguente proporzione:  : 180° = rad : Considerato un sistema di riferimento cartesiano si definisce circonferenza goniometrica lacirconferenza avente centro nell’origine e raggio unitario (circonferenza di equazione x2 + y2 =1). Il punto A(1,0) è detto origine degli archi, il verso di percorrenza positivo è quello antiorario. Notiamo anche che la misura in radianti dell’angolo al centro coincide con la misura dell’arco della circonferenza goniometrica sotteso, quindi in trigonometria si parla indifferentemente di archi o di angoli. ˆDetto l’angolo al centro AOB definiamo ora le seguenti funzioni trigonometriche:

sen  = ordinata del punto B secondo estremo dell’arco  (il primo estremo è in A) = BH . cos  = ascissa del punto B secondo estremo dell’arco = OH . tg tanrapporto, quando esiste, tra il seno e il coseno dell'angolo  (cioè quando cos  0) cotg cotanrapporto, quando esiste, tra ilcoseno e il seno dell'angolo (cioè quando sen  0). N.B. Dalle definizioni date segue che seno coseno tangente e cotangente sono funzioni di , cioè sono numeri reali che dipendono solamente dal valore dell’angolo 

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RELAZIONI FONDAMENTALI FRA LE DIVERSE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE DI UNO STESSO ANGOLO ORIENTATO:
Tra le funzioni trigonometriche viste intercorrono le seguenti relazioni:sen 2   cos 2   1 (teorema di Pitagora ) sen cos  1 cos  cotg    tg  sen tg  Si può inoltre dimostrare che tg  è l’ ordinata del punto T di intersezione tra la tangente geometrica alla circonferenza nel punto A e la semiretta OT (che teorema sui triangoli si usa?). Nota la funzione trigonometrica di un angolo è possibile ricavare le altre, e, dalle relazioni precedenti si ottienel’espressione di tutte le funzioni di un dato angolo orientato mediante una sola di esse N.B. Il segno va scelto a seconda del quadrante in cui si trova l’angolo 

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NOTO sen cos tg cctg

sen sen
 1  cos 2 
tg  1  tg 2  1  1  ctg 2 

cos
 1  sen 2 

tg
sen   1  sen 2 
 1  cos 2  cos 

cos
1  1  tg2  ctg   1  ctg 2 

tg
1 ctg

VALORIDELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE DI ARCHI PARTICOLARI  15° = /12 18° = /10 30° = /6 45° = /4 60° = /3 90° = /2 180° =  270° = 3/2 0° = 360° = 2 1 0 -1 0 sen cos tg 2 3

6 2 4 5 1 4
1/2 2 /2 3 /2

6 2 4
10  2 5 4 3 /2 2 /2 1/2 0 -1 0 1

5 2 5 5
3 /3 1 3

non esiste 0 non esiste 0

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Da evidenti simmetrie sulla circonferenza si deducono poi i valori delle funzionitrigonometriche di altri archi particolari.

Esempio il coseno di 4/3 è uguale in modulo a quello di 3 (infatti 4/3 , essendo nel terzo quadrante però il suo segno è negativo, quindi cos 4/3  Esistono utili formule per il calcolo delle funzioni trigonometriche, che sono riportate in fondo.

VARIAZIONE DELLE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE:
Ricordando la definizione dataosserviamo che: - 1  sen  1; - 1  cos  1 I grafici delle funzioni trigonometriche sono i seguenti: y = sen x definita per ogni x, il codominio è [-1,1], periodica di periodo 2interseca l’asse x nei punti della forma k , con k  Z.

y = cos x

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definita per ogni x, il codominio è [-1,1], periodica di periodo 2 , interseca l’asse x nei punti della  forma  k , con k  Z. 2

y =tg x definita per x  /2 + kil codominio è R periodica di periodo  interseca l’asse x nei punti della forma k , con k  Z.

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RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI
 PRIMO GRADO, elementari 1. sinx = h 2. cosx = h con h [-1, 1] Ricordando la definizione delle funzioni sinx e cosx queste equazioni si risolvono intersecando la circonferenza (di equazione x 2  y 2  1 ) con...
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