Vibraciones con amortiguamiento

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1 Vibraciones Mecánicas

Los sistemas mecánicos simples proporcionan un buen ejemplo de la aplicación de las ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes.

1.1 Preliminares

Consideremos el sistema mecánico Amortiguador-Masa-Resorte

Utilizando la segunda Ley de Newton de movimiento translacional: La aceleración de cualquier cuerpo rígido es directamente proporcional a la fuerzaque actúe sobre él e inversamente
proporcional a la masa del cuerpo, es decir

F = ma

Haciendo el diagrama de cuerpo libre del la masa en el modelo

nos damos cuenta de que sobre dicha masa actúan tres fuerzas: la fuerza del resorte ( FR), la fuerza del amortiguador ( FR) y posiblemente alguna fuerza externa (peso, fricción, etc).

Podemos establecer las siguientes relaciones paramodelar las fuerzas tanto del resorte como del amortiguador

Elemento | Modelo |
| FR = k (y2 − y1) |
| FA = b (y02− y01) |

donde k es la constante del resorte y b es la constante de amortiguamiento.

Atendiendo a lo anterior y apoyados en la segunda ley de Newton del movimiento, tendremos pues que si queremos analizar el desplazamiento vertical de la masa el modelo matemático que lodescribe se obtiene como sigue

ma =∑F
ma = FE − FR − FA

como

FR = ky
FB = by’
a = y``

entonces

ma = FE − FR − FA
my’’ = FE − ky − by’
my’’ + by’ + ky = FE

donde m, k y b son constantes y FE es una fuerza externa (excitación del sistema). La anterior es una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes no homogénea en general. En caso de que FE = 0 se dice que es unmovimiento libre mientras que si FE ≠ 0 se habla de un movimiento forzado.

Comenzaremos a analizar este sistema desde su forma más simple hacia lo más complejo: primero movimientos libres y después forzados.

1.2 Vibración Libre

Si el modelo matemático para un sistema mecánico simple es

My’’ + by’ + ky = 0

se habla de movimiento libre, además si se tiene que el sistema carece deamortiguamiento (b = 0) - la fricción se puede ver como un tipo de fuerza de amortiguamiento - entonces se habla de un sistema no amortiguado o de movimiento libre no amortiguado; en caso contrario (b ≠ 0) se habla de movimiento libre amortiguado.

1.2.1 Vibración Libre No Amortiguado

Consideraremos un sistema mecánico el cual experimenta un movimiento libre no amortiguado como el que sedescribe a continuación

Situación | modelo |
| My’’ + ky = 0y (0) = yo |

Un problema de valor inicial asociado considera el estiramiento del resorte por debajo o por encima de la línea de equilibrio estático (ver gráfico).

Para hacer análisis de este sistema definiremos ω0 =√k/m por lo que el modelo del sistema toma la forma

My’’ + ky = 0
Y’’ + k/m = 0
Y’’ + ωy = 0

resolviendo estaecuación

y’’ + ω20y = 0
m2 + ω20 = 0

m = ±ω0 i → α = 0
β = ω0

y = A cos (ω0t) + B sin (ω0t)

Aunque esta es la solución general de la ecuación, hay una forma alternativa de presentarla que proporciona más información respecto del comportamiento del sistema que la que ésta nos da. Al tener una suma de funciones seno y coseno conla misma frecuencia y amplitudes distintas, la suma de ella es una función sinusoidal con la misma frecuencia pero con un desplazamiento y con amplitud diferente.

Para lograr nuestro objetivo consideraremos las siguientes relaciones

C = √ A2 + B2
cos α = A/c
sin α = A/c

para calcular el valor del ángulo α es necesario calcular tan−1 (B/A) . La formanatural del la tangente, considera valores angulares solo entre − π/2 < x < π/2, mientras que α tiene valores desde 0 hasta 2π. Para ver cual es el comportamiento del ángulo respecto de los valores de A y B tenemos que

α = tan−1 (B/A) (A > 0, B > 0) primer cuadrante
π + tan−1 (B/A) (A < 0) segundo y...
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