vibraciones con n grados de libertad

10. VIBRACIONES EN SISTEMAS CON N
GRADOS DE LIBERTAD
10.1. Matrices de rigidez, inercia y amortiguamiento
Se puede demostrar que las ecuaciones lineales del movimiento de un sistema discreto
de N grados de libertad sometido a pequeños desplazamientos, con coordenadas generalizadas representadas por el vector q de dimensión N × 1 , se pueden escribir como
M q + Cq + K q = f
(9.124)
donde M,C y K son matrices de tamaño N × N y se denominan matrices de inercia,
amortiguamiento y rigidez, respectivamente. Las matriz M es simétrica y positivo definida. La matriz K también es simétrica pero puede ser positivo definida o positivo
semidefinida. La matriz C no goza, en general, de ninguna de las propiedades anteriores.
Ejemplo 10.1-1

Obtener las ecuaciones del movimiento eidentificar las matrices de masas, rigidez y amortiguamiento para el sistema de dos grados de libertad de la Figura 10.1.
x1
k1

x2
k2

k3

f1(t)
c1

m1

f2(t)
m2

c2

c3

Figura 10.1.

k1x1
..
m1x1
.
c1x1

k2(x2-x1)
f1(t)
. .
c2(x2-x1)

k2(x2-x1)
..
m2x2
. .
c2(x2-x1)

k2x2
.
c2x2

Figura 10.2.

Para hallar las ecuaciones de este sistema, basta con aplicar lasecuaciones de
equilibrio a cada una de las dos masas. La Figura 10.2 muestra los diagramas de sólido libre, con todas las fuerzas actuantes. Sumando las fuerzas e igualando a cero se
llega a:
m1 x1 + c1 x1 − c2 ( x2 − x1 ) + k1 x1 − k2 ( x2 − x1 ) = f1 (t )
m2 x2 + c2 ( x2 − x1 ) + c3 x2 + k2 ( x2 − x1 ) + k3 x2 = f2 (t )

© Alejo Avello, Tecnun (Universidad de Navarra).

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Cap. 10:Vibraciones en sistemas con N grados de libertad

Reordenando términos, estas dos ecuaciones se pueden poner de forma matricial
como
m1 0   x1  c1 + c2

 + 
 0 m2  x2   −c2

−c2   x1  k1 + k2
 + 
c2 + c3   x2   −k2



−k2   x1   f1 (t ) 

 = 
k2 + k3   x2   f2 (t ) 



Identificando con la ecuación (9.124), las matrices M, C y Kresultan ser:
c + c
C= 1 2
 −c2

0 
m
M= 1

 0 m2 

−c2 

c2 + c3 

k + k2
K= 1
 −k2

−k2 

k2 + k3 

10.2. Vibraciones libres de sistemas no amortiguados
Particularizando la ecuación (9.124) para el caso de las vibraciones libres ( f = 0 ) en
sistemas no amortiguados (C=0), se tiene
Mq + Kq = 0
(9.125)
sujeto a las condiciones iniciales q ( 0 ) = q0 yq ( 0 ) = q0 .De forma análoga a lo que se
hizo en el caso de las vibraciones con un grado de libertad, asumimos una solución
armónica de la forma
q (t ) = A e st

(9.126)

donde A es un vector de amplitudes. Sustituyendo la ecuación (9.126) en la (9.125),
resulta:

(s M + K ) A e
2

st

=0

(9.127)

Puesto que ni A ni e st pueden ser nulos, ya que si no obtendríamos la solucióntrivial nula, se deduce que

(s M + K ) A = 0
2

(9.128)

10.2.1. Frecuencias naturales
Para calcular los valores de s y A, debemos resolver la ecuación (9.128), que representa un problema de valores y vectores propios generalizado. Como es sabido, esta ecuación tiene solución distinta de la trivial nula si y sólo si la matriz de coeficientes es
singular o, lo que es lo mismo, si sudeterminante es nulo.
s2 M + K = 0

(9.129)

Se puede demostrar que si la matriz M es positivo definida y K es positivo definida o positivo semidefinida, todos los valores propios s2 son reales y negativos o nulos.
Por ello, para manejar cantidades positivas es costumbre realizar el cambio de variables
s2 = −ω2

(9.130)

que equivale a
s = ± ωi

(9.131)

© Alejo Avello, Tecnun(Universidad de Navarra).

Cap. 10: Vibraciones en sistemas con N grados de libertad

241

Con este cambio, la ecuación (9.129) se convierte en
K − ω2 M = 0

(9.132)

2
2
con valores propios ω1 , ω2 ,… , ω2 positivos o nulos. A las raíces cuadradas de estos vaN
lores se les denomina frecuencias naturales del sistema.

10.2.2. Modos de vibración
2
Asociado con cada valor propio ωi hay...