Vibraciones Mecanicas a partir de la Transformada de La place

Transformada de Laplace:
Aplicación a vibraciones mecánicas
Santiago Gómez Jorge
Estudiante de Ingeniería Electrónica
Universidad Nacional del Sur, Avda. Alem 1253, B8000CPB Bahía Blanca, Argentina
thegrimreaper7@gmail.com

Septiembre 2011

Resumen: Los métodos de la transformada de Laplace tienen un papel clave en el enfoque moderno del análisis y diseño en
los sistemas de ingeniería.En el siguiente informe se detallará como utilizar dicha transformada para la resolución de
ecuaciones diferenciales de movimiento en sistemas mecánicos de traslación, condicionados por determinadas
amortiguaciones.
Palabras clave: Movimiento, Laplace, ecuaciones diferenciales, amortiguados.

I.

INTRODUCCIÓN
Se define la transformada de Laplace (L) mediante la expresión:
∞

L [ f (t)]= F (s )= ∫ e− st f (t )dt
0

R , para los cuales la integral converge, y donde f (t ) es la función original, F ( s) es la función
− st
transformada y e es el núcleo de la transformación.
Las propiedades que se utilizarán en este trabajo de aplicación serán, Considerando el siguiente par de
transformadas de Laplace con sus correspondientes regiones de convergencia:

para los s

f (t )←→F (s)
g (t ) ←→G ( s)

Propiedad de linealidad: Para α , β

( s)> p
( s)> q

C

α f (t )+ β g (t ) ←→α F ( s)+ β G( s)

( s)> máx ( p , q)

Propiedad de la derivada: Sea F(s) la transformación de la función f(t) para los números reales (s > p)

f

(n)

(t)

s

(n)

(n− 1)

(n− 1)

F ( s)− s
f (0)− − f
(0)
n n
n
( s)> p
(− 1) t f (t ) f ( s)

( s)> p

Latransformada de Laplace provee un método para resolver ecuaciones diferenciales lineales con
coeficientes constantes al transformarlas, a través de la propiedad anteriormente descripta, en el problema
sencillo de resolver una ecuación algebraica lineal. Una vez hecha la transformación, se desarrollan

manipulaciones algebraicas y finalmente se aplica la transformación de Laplace inversa paraobtener el resultado
del problema planteado.
En la aplicación de este informe se utiliza el desarrollo de Heaviside de la transformada de Laplace, el cual
consiste en, luego de obtener una solución de la forma Y ( s)=
(− 1)

determina la solución y (t )= L
luego antitransformando.

( P (s))
(Q ( s)) donde P y Q son polinomios en s, se

[Y ( s)] , expresando primero Y(s) en términos defracciones parciales y

II. VIBRACIONES MECÁNICAS
Los sistemas mecánicos de traslación pueden ser usados para modelar muchas situaciones e involucran tres
elementos básicos: masas, resortes y amortiguadores, cuyas unidades de medida son, respectivamente, Kg
(kilogramos), N/m (Newton por metro) y Ns/m (Newtons y segundos por metro). Las variables asociadas son el
desplazamiento x(t) (medido enmetros) y la fuerza F(t) (medida en Newtons). Podemos ver en la Figura 1, una
representación de los tres elementos básicos nombrados anteriormente:

Figura 1: Elementos componentes de un sistema mecánico de traslación.
(1)
Suponiendo que estamos tratando con resortes y amortiguadores ideales (esto es, suponiendo que se
comportan linealmente), las relaciones entre las fuerzas y losdesplazamientos en el tiempo t son

d2
x)= M x (Ley de Newton)
¨
dt

Masa:

F− M (

Resorte:

F = K ( x 2 − x1 ) (Ley de Hooke)

Amortiguador:

F = B(

d
d
x 2−
x )= B( x 2 − x 1)
˙
˙
dt
dt 1

Usando estas relaciones llegamos a las ecuaciones del sistema, las que pueden ser analizadas utilizando las
técnicas de la transformada de Laplace.

III. EJEMPLO
La masa del sistemamasa-resorte-amortiguador de la figura 2 está sometida a una fuerza periódica externa
F(t) = 4 sin (ωt) aplicada en el tiempo t = 0. Determinaremos el desplazamiento resultante de x(t) de la masa en
el tiempo t, suponiendo que la velocidad y posición iniciales son cero para ambos casos presentados a
continuación:
(a) ω = 2

(b) ω = 5

Determinaremos también, lo que sucedería en el caso de ω...