Vibraciones

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CAPITULO 2

VIBRACION LIBRE

2.1 INTRODUCCIÓN

Todo sistema que posea masa y elasticidad es capaz de vibrar libremente, es decir, sin excitación externa. De gran importancia para tales sistemas, es su frecuencia natural de vibración. Nuestro objetivo es aprender a escribir su ecuación de movimiento y evaluar su frecuencia natural que es principalmente una función de la masa y de la rigidezdel sistema.

Un amortiguamiento moderado tiene poca influencia sobre la frecuencia natural y puede ignorarse. Puede entonces considerarse el sistema como conservativo y, el principio de conservación de la energía ofrece otro método para el cálculo de la frecuencia natural. El efecto del amortiguamiento es especialmente evidente en la disminución de la amplitud de la vibración con el tiempo.Aunque existen muchos modelos de amortiguamiento, solo aquellos que conducen a procedimientos analíticos simples, serán analizados en este capítulo.

2.2 ECUACION DE MOVIMIENTO (FRECUENCIA NATURAL)

El sistema oscilatorio más simple consta de una masa y un resorte como se muestra en la figura 2.2-1. Suponemos despreciable la masa del resorte cuya rigidez es [pic] Newtons por metro de deflexión.El sistema posee un grado de libertad puesto que su movimiento queda descrito por una coordenada singular [pic].

Cuando se le pone en movimiento, la oscilación tendrá lugar a la frecuencia natural [pic], que es una propiedad del sistema. Ahora examinaremos algunos de los conceptos básicos asociados con la vibración libre de sistemas con un grado de libertad.

La segunda ley de Newton es laprimera base para examinar el movimiento del sistema. Como se muestra en la figura 2.2-1 la deformación del resorte en la posición de equilibrio estático es [pic] y, la fuerza del resorte [pic] es igual a la fuerza gravitacional [pic] que actua en la masa [pic]:

[pic]

Midiendo el desplazamiento a partir de la posición de equilibrio estático, las fuerzas que actúan en [pic] son [pic] y [pic].Si [pic] se toma positivo hacia abajo, todas las cantidades (fuerza, velocidad y aceleración) son también positivas en la dirección vertical hacia abajo.

[pic]

Fig. 2.2-1. Sistema masa-resorte y diagrama de cuerpo libre.

Aplicamos ahora la segunda ley de Newton a la masa [pic]

[pic]

Y como [pic], obtenemos

[pic]

Es evidente que la escogencia de la posición de equilibrioestático como referencia para [pic] ha eliminado a [pic], la fuerza debida a la gravedad y a la fuerza estática de resorte [pic], de la ecuación de movimiento y, la fuerza resultante en [pic] es simplemente la fuerza de resorte debida al desplazamiento [pic].

Definiendo la frecuencia circular [pic] por medio de la ecuación

[pic]

La ecuación (2.2-2) puede escribirse como

[pic]

Y concluimospor comparación con la ecuación (1.2-6) que el movimiento es armónico. La ecuación (2.2-4), es una ecuación diferencial homogénea lineal de segundo orden, tiene la siguiente solución general

[pic]

En donde A y B son dos constantes arbitrarias. Estas se evalúan a partir de las condiciones iniciales [pic] y [pic] y la ecuación (2.2-5) se reduce a

[pic]

El periodo natural de oscilación seestablece a partir de [pic] o también de la forma

[pic]

Y la frecuencia natural es

[pic]

Estas cantidades pueden expresarse en función de la deflexión estática Δ, observando la ecuación (2.2-1), [pic]. Así la ecuación (2.2-8) puede expresarse como

[pic]

Y la frecuencia natural de un sistema de un grado de libertad queda determinada unívocamente por la deflexión estática Δ.

Lasunidades utilizadas en la ecuación anterior deben ser consistentes. Por ejemplo, si [pic] esta dada en [pic] entonces, Δ debe estar en pulgadas. Usando [pic], Δ debe estar en metros. Sin embargo, es preferible tomar a Δ en milímetros, [pic], en cuyo caso la ecuación (2.2-9) se convierte en

[pic]

En la figura 2.2-2 se muestra un grafico logarítmico de la ecuación (2.2-10).

[pic]...
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