Vision de las metematicas de

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VISION GENERAL DE LA MATEMÁTICA

Una adecuada presentación de cualquier ciencia no puede consistir sólo en información detallada, aunque sea extensa; debe también dar una visión propia de la naturaleza esencial de la ciencia en conjunto. El objeto del presente capítulo es dar un cuadro general de la naturaleza esencial de la matemática. Para ello no hay gran necesidad de entrar en detalles deteorías matemáticas recientes, puesto que la matemática elemental y la historia de la ciencia ya proporcionan base suficiente para obtener conclusiones generales.

1.- Rasgos característicos de la matemática

1. Abstracciones, demostraciones, aplicaciones

Incluso con un conocimiento superficial de la matemática, es fácil reconocer ciertos rasgos característicos: su abstracción, suprecisión, su rigor lógico, el irrefutable carácter de sus conclusiones, y, finalmente, el campo excepcionalmente amplio de sus aplicaciones.
Es fácil reconocer el carácter abstracto de la matemática. Operamos con números abstractos sin preocuparnos de cómo relacionarlos en cada caso a objetos concretos. En la escuela se estudia la tabla abstracta de multiplicar, esto es, una tabla para multiplicar unnúmero abstracto por otro, no un número de muchachos por un número de manzanas o un número de manzanas por el precio de una manzana.
De modo similar, en geometría consideramos, por ejemplo, líneas rectas y no hilos gruesos, llegándose al concepto de línea geometría por abstracción de todas las propiedades excepto la extensión en una dirección. En general, el concepto de figura geométrica es elresultado de la abstracción de todas las propiedades de un objeto exceptuadas su forma espacial y dimensiones.
Abstracciones de esta clase son características en toda la matemática. Los conceptos de número y de figura geométrica son solo dos de sus primeros y más elementales ejemplos, seguidos luego por muchos otros, demasiado numerosos para describirlos, y que tienen que ver con abstraccionestales como números complejos, funciones, integrales, diferenciales, funcionales, espacios n-dimensionales e incluso espacios de infinitas dimensiones, etc. Estas abstracciones, apoyadas unas en otras, han alcanzado tal grado de generalización que pierden aparentemente toda conexión con la vida diaria, y el hombre medio no entiende nada de ellas salvo el simple hecho de que .
La realidad,naturalmente, no es esa en absoluto. Aunque el concepto de espacio n-dimensional es, sin duda, extremadamente abstracto, todavía tiene un contenido completamente real, que no es muy difícil de entender. En este libro nuestro propósito será el de dar a conocer y aclarar el contenido concreto de conceptos abstractos tales como los ya mencionados, de modo que el lector pueda convencerse por si mismo de quetodos ellos están relacionados con la vida real, tanto en su origen como en sus aplicaciones.
Pero la abstracción no es algo exclusivo de la matemática; Es característica de toda ciencia, incluso de toda actividad mental en general. Consecuentemente, la abstracción de los conceptos matemáticos no proporciona por sí misma una descripción del carácter peculiar de la matemática.
Las abstracciones dela matemática se distinguen por tres rasgos.
En primer lugar, tratan fundamentalmente de las relaciones cuantitativas y formas espaciales, abstrayéndolas de todas las demás propiedades de los objetos. En segundo lugar, aparecen en una sucesión de grados de abstracción creciente, llegando mucho mas lejos en esta dirección que la abstracción en las de más ciencias. Más tarde ilustraremos estas doscualidades en detalle, empleando como ejemplos las nociones fundamentales de número y figura. Finalmente, y esto es obvio, la matemática como tal se mueve casi por completo en el campo de los conceptos abstractos y sus interrelaciones. Mientras el científico de la naturaleza experimenta constantemente para demostrar sus aseveraciones, el matemático emplea solo razonamientos y cálculos.
Es...
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