Volumen Toroide

Volumen Toroide
Como sabéis, un Toro es un sólido de rotación. En este caso nos planteamos el rotar una circunferencia sobre un eje que esté a una distancia del centro de está mayor que su radio.Una circunferencia es el lugar geométrico conformado por los puntos () que distan de otro establecido (llamado centro) exactamente una constante llamada radio (). Con el teorema de Pitágoras hallamosla distancia entre dos puntos, en este caso y :

Como saben esta es la ecuación de la circunferencia, así que ya podemos empezar.
Un toro se determina por dos variables: si una curva recorriera elcentro del tubo del donut esta sería una circunferencia y la variable es su radio que llamaremos que es la distancia del centro del toro (donde no hay nada) hasta el centro del tubo. La segundavariable que nos da todos los toros del universo es el radio de la circunferencia sección del tubo. Este valor determina lo grueso que es el tubo y lo llamaremos .
Para que sea un toro tenemos que pensarque siempre se guarde esta relación.

Pasemos al cálculo de su volumen:
Sabemos que cualquier función puede rotarse sobre el eje de las x para darnos un sólido cuyo volumen se puede calcular segúnla fórmula:

Sin embargo en nuestro caso no se trata de una función ya que para ciertos valores de las x obtenemos más de un valor de la y. Para rotar una circunferencia hay primero que hacer quesea una función, de hecho dos. Cogeremos la semicircunferencia superior como la primera y la inferior la segunda:

;

;

;

Así obtenemos dos funciones:

y

Por tanto, para obtener elvolumen del toro hemos de restar las áreas del solido generado por en rotación de la del solido generado por en rotación. Esto cambia la formula por:

Ahora determinemos el intervalo de las funciones.En nuestro caso será desde el centro un radio antes hasta desde el centro un radio después. Si nos fijamos bien nos daremos cuenta de que no es más que el del toro así que lo sustituimos en las...