Volumenes Finitos

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METODO DE LOS VOLUMENES FINITOS
CI71D MODELACION NUMERICA EN INGENIERIA HIDRAULICA Y AMBIENTAL Prof. Y. Ni˜o n Sem. Primavera 2002

1

Introducci´n o

e u e El m´todo de los vol´menes de control finitos permite discretizar y resolver num´ricamente ecuaciones diferenciales. Es un m´todo alternativo a los de diferencias finitas y elementos finitos. e Consideremos una malla de discretizaci´ndel espacio fluido. En torno a cada punto de esta o malla se construye un volumen de control que no se traslapa con los de los puntos vecinos. De esta forma el volumen total de fluido resulta ser igual a la suma de los vol´menes de control u considerados. La ecuaci´n diferencial a resolver se integra sobre cada volumen de control, lo cual o entrega como resultado una versi´n discretizada de dichaecuaci´n. Para realizar la integraci´n se o o o requiere especificar perfiles de variaci´n de la variable dependiente entre los puntos de la malla, de o modo de poder evaluar las integrales resultantes. La principal propiedad del sistema de ecuaciones discretizadas resultante, es que la soluci´n obtenida satisface en forma exacta las ecuaciones de o conservaci´n consideradas, independientemente deltama˜o de la malla. o n

2

Ejemplo ilustrativo

Consideremos la ecuaci´n de conducci´n de calor unidimensional permanente: o o dT d (K )+S = 0 (1) dx dx donde K es el coeficiente de conducci´n t´rmica, T es la temperatura y S es un t´rmino fuente que o e e en este caso representa la tasa de generaci´n de calor por unidad de volumen. o Para la discretizaci´n mostrada en la Fig. 1 se tiene elpunto P de la malla, el cual tiene como o vecinos los puntos W (a la izquierda, es decir en la direcci´n de −x) y E (a la derecha, es decir, en o la direcci´n de x). La distancia entre W y P es (δx)w , la distancia entre P y E es (δx)e . Entre los o puntos W y P se encuentra el punto w que corresponde al l´ ımite izquierdo del volumen de control construido en torno a P . Entre los puntos P y E seencuentra el punto e que corresponde al l´ ımite derecho del volumen de control considerado. La distancia entre w y e es ∆x. Como este es un problema unidimensional, el volumen de control tiene dimensiones: ∆x × 1 × 1. Integrando la ecuaci´n (1) en el volumen de control considerado, se tiene: o
e w

d dT (K ) dx + dx dx

e

S dx = 0
w

(2)

¯ Definiendo S ∆x =

e w

S dx, laecuaci´n anterior se reduce a: o 1

CI71D

Modelaci´n Num´rica en Ingenier´ Hidr´ulica y Ambiental o e ıa a

(δx) w w

(δx) e e x

W

P ∆x

E

Figura 1: Malla de discretizaci´n por vol´menes finitos. o u

dT dT ¯ )e − (K )w + S ∆x = 0 (3) dx dx Para evaluar las derivadas de T en los puntos w y e, se requiere hacer una suposici´n respecto o de la variaci´n de T en el volumen de control.Por ejemplo en la Fig. 2 se muestran dos simples o suposiciones posibles: paso constante (stepwise) y paso lineal (piecewise linear). Es claro que la suposici´n de paso constante no es buena ya que las derivadas en los puntos w y e no est´n definidas. o a Desde ese punto de vista la suposici´n m´s simple que permite evaluar las derivadas en w y e es la o a de paso lineal. En ese caso dichasderivadas valen: (K (K (K dT TP − TW )w = Kw dx (δx)w dT TE − TP )e = K e dx (δx)e (4) (5)

Reemplazando estos resultados en (3), se obtiene: Ke TE − TP TP − TW ¯ − Kw + S ∆x = 0 (δx)e (δx)w (6)

ecuaci´n que puede simplificarse para llegar a: o aP TP = aE TE + aW TW + b donde: aE = Ke Kw ¯ ; aW = ; aP = aE + aW ; b = S ∆x (δx)e (δx)w (7)

Esta ecuaci´n indica que la temperatura en P puedeexpresarse en funci´n de la temperatura en o o los puntos vecinos W y E. Es f´cil ver que una extensi´n de este an´lisis a dos o tres dimensiones, a o a permite escribir: aP TP =
i

ai T i + b

(8)

donde i es un sub´ ındice que identifica los puntos de la malla vecinos a P en las direcciones x, y, z, dependiendo de la dimensionalidad del problema.

Departamento de Ingenier´ Civil ıa

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