Volumenes Finitos

Páginas: 37 (9170 palabras) Publicado: 28 de enero de 2015
METODO DE LOS VOLUMENES FINITOS
CI71D MODELACION NUMERICA EN INGENIERIA HIDRAULICA Y AMBIENTAL
Prof. Y. Ni˜
no
Sem. Primavera 2002

1

Introducci´
on

El m´etodo de los vol´
umenes de control finitos permite discretizar y resolver num´ericamente ecuaciones diferenciales. Es un m´etodo alternativo a los de diferencias finitas y elementos finitos.
Consideremos una malla dediscretizaci´
on del espacio fluido. En torno a cada punto de esta
malla se construye un volumen de control que no se traslapa con los de los puntos vecinos. De
esta forma el volumen total de fluido resulta ser igual a la suma de los vol´
umenes de control
considerados. La ecuaci´
on diferencial a resolver se integra sobre cada volumen de control, lo cual
entrega como resultado una versi´
ondiscretizada de dicha ecuaci´
on. Para realizar la integraci´
on se
requiere especificar perfiles de variaci´
on de la variable dependiente entre los puntos de la malla, de
modo de poder evaluar las integrales resultantes. La principal propiedad del sistema de ecuaciones
discretizadas resultante, es que la soluci´
on obtenida satisface en forma exacta las ecuaciones de
conservaci´
on consideradas,independientemente del tama˜
no de la malla.

2

Ejemplo ilustrativo

Consideremos la ecuaci´
on de conducci´
on de calor unidimensional permanente:
dT
d
(K
)+S = 0
(1)
dx
dx
donde K es el coeficiente de conducci´
on t´ermica, T es la temperatura y S es un t´ermino fuente que
en este caso representa la tasa de generaci´
on de calor por unidad de volumen.
Para la discretizaci´on mostrada en la Fig. 1 se tiene el punto P de la malla, el cual tiene como
vecinos los puntos W (a la izquierda, es decir en la direcci´
on de −x) y E (a la derecha, es decir, en
la direcci´
on de x). La distancia entre W y P es (δx)w , la distancia entre P y E es (δx)e . Entre los
puntos W y P se encuentra el punto w que corresponde al l´ımite izquierdo del volumen de control
construidoen torno a P . Entre los puntos P y E se encuentra el punto e que corresponde al l´ımite
derecho del volumen de control considerado. La distancia entre w y e es ∆x. Como este es un
problema unidimensional, el volumen de control tiene dimensiones: ∆x × 1 × 1.
Integrando la ecuaci´
on (1) en el volumen de control considerado, se tiene:
e
w

Definiendo S¯ ∆x =

e
w

d
dT
(K
) dx +
dxdx

e

S dx = 0
w

S dx, la ecuaci´
on anterior se reduce a:
1

(2)

CI71D

Modelaci´
on Num´
erica en Ingenier´ıa Hidr´
aulica y Ambiental

(δx) w

(δx) e

w

W

e

P

E

x

∆x

Figura 1: Malla de discretizaci´
on por vol´
umenes finitos.

dT
dT
)e − (K
)w + S¯ ∆x = 0
(3)
dx
dx
Para evaluar las derivadas de T en los puntos w y e, se requierehacer una suposici´
on respecto
de la variaci´
on de T en el volumen de control. Por ejemplo en la Fig. 2 se muestran dos simples
suposiciones posibles: paso constante (stepwise) y paso lineal (piecewise linear). Es claro que la
suposici´
on de paso constante no es buena ya que las derivadas en los puntos w y e no est´
an definidas.
Desde ese punto de vista la suposici´
on m´
as simple quepermite evaluar las derivadas en w y e es la
de paso lineal. En ese caso dichas derivadas valen:
(K

(K
(K

dT
TP − TW
)w = Kw
dx
(δx)w

(4)

dT
TE − TP
)e = K e
dx
(δx)e

(5)

Reemplazando estos resultados en (3), se obtiene:
Ke

TE − TP
TP − TW
− Kw
+ S¯ ∆x = 0
(δx)e
(δx)w

(6)

ecuaci´
on que puede simplificarse para llegar a:
aP TP = aE TE + aW TW + b(7)

donde:
aE =

Ke
Kw
; aW =
; aP = aE + aW ; b = S¯ ∆x
(δx)e
(δx)w

Esta ecuaci´
on indica que la temperatura en P puede expresarse en funci´
on de la temperatura en
los puntos vecinos W y E. Es f´
acil ver que una extensi´
on de este an´
alisis a dos o tres dimensiones,
permite escribir:
aP TP =

ai T i + b

(8)

i

donde i es un sub´ındice que identifica los...
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