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E¡. f-a eliplsG! ,

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La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos p(x;y)

cuya ubicación en el plano es tal, que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de él es constante.
Estos dos puntos fijos del plano, se llaman focos y se designan por Fty tz
V.

)

.F,
Los elementos más importantes de la elipse son:
I
l

-\

,y

VX

Focos
Yre
1

:

Son los puntos fijos F., y F,

Recta focal o ejg

i
v2
F,
F,

lb
c

focos, tal

focel: como VlVz

Es

la recta que pasa por los

)u,
a

Recta secundaria: Es la recta perpendicular a la recta focal en el punto medio del segmento Fr.

f

\_
B

Ejemplo: La recta

ffi

Centro: Es el punto de intersección de las rectas focal y secundaria yque equidista de los focos. Se designa por Fo

Vértices y covértices: Los vértices son los puntos de intersección de la elipse con la recta focal, se designan
por V., y Y2, a los puntos
Eje
Eie

\

y Bz se les llama covéÉices.

mayor:

Es

el segmento Vt V, que se considera de longitud "2a"

,

donde "a" es el valor del semieje mayor
Ia elipse, se considera de longitud

"2b"ménor: Es el segmento !f, de la recta secundaria interceptada por , donde "b" es el valor del semieje menor.

Distancia focal: Es'la distancia entre los focos, se considera de longitud "2c", esdecir:
Lado recto: Es la cuerda focal

F.,

F2:

2c.

ffi

perpendicular a la recta focal o eje de simetría.

rir,r''Llii:,t]r,,,¡+

-443r-

&X

lllanucl Goveáa¡ ñlaquich*

Dffi.',fl
Supongamos que el eje focal de la elipse coincide con el eje x, y que el centro se encuentra en el origen de coordenadas. De acuerdo a lo anterior, las coordenadas de los focos son Fr(c;0) y fr(-c;0). Si P(x; y) es un punto de la elipse, se cumple que:

Determinemos ahora el valor de la constante. Si consideramos al punto P ubicado en el vértice V1, la suma de sus distancias a los focoses constante.

-tt

\\

=

: a-c d(V.';F2) :a*c d(V.'; F1) + d(V1; F2) :2a
d(V1;Fl)

\F. \V,

Luego

d(p;,Fr)'}ld{É;t,rr¡;

za

donde "2a" es la constante

a, b y c, ubicamos el punto P(x; y) en la intersección de Ia elipse con la
Para hallar una relación entre

recta secund¿¡¡¿ (eje y).
En este caso:

d(P; F1) : d(P;Fz) : a ya que d(P;F2) + d(P;Fr)
En

:

2a

elZl PF'F,': c <

.A

a

y por el T. de

Pitágoras:

b2

+

c2

:a2

t
A toda elipse se le asocia un número real que llamamos excentricldad de la elipse, designado por la letra e, y cuyo valor es :

Ejemplos:

i)

Elipse de excentricidad e

:

3/5

¡i)

Elipse de excentricidad e

:

415

'F.
',

v

-=--{ b, \3 b | \3 -.. ,'a' -11-- \\ ¡s
5
iti-\
]

F;\'E\ l['\Lq ls I o./ lc-" ,/ --l-t 4
-3
I

I

x

+

Dado que Ia excentricidad depende de las medidas de c y 4 su valor está asociado con la forma de la respectiva elipse; es así que tenemos elipses "más o menos achatadas".

-444-

GIv
El valor de 2a es constante, por lo tanto, el achatamiento

Dffi
focos.

de la elipse varía según la distancia entre los

Como sabemos que ces menor que a, es decir, la excentricidad de la elipse
Si

tiende a convertirse en una circunferencia.

", c tiendeacero,entoncesetambiéntiendeacero.Enestecaso, losfoco8seacercanentresi ylaelipse

!

un número menor que 1.

Si c se acerca al valor a, entonces e se acerca a 1. Los puntos Bl y Bzse acercan hacia el centro y la elipse se "achata".

Para encontrar la ecuación analíticade la elipse, expresamos las distancias entre p(x;y), los Fr(-c;0) en función de sus coordenadas.

focos

F.,

(c;0)

d(P; F1)

+ d(P; Fr) :

2a

(*

-.)'

+(y

-o)' *./t*

*c)2 +(y _ o)' = 2u
B,

(0;b)

Aislamos una de las raíces y luego elevamos al cuadrado.

l(x;

y)

("-.)' .rf

=+^t -+urQ*ry n¡ +(x+cS2 ,,2 ,4 (x+c) =,lu'*,lr*

yf
Obsenvación

a-X- +...