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Ley de Senos
La ley de senos en la solución de triángulos no rectángulos (acutángulos u obtusángulos), presenta un caso ambiguo ya que existen dos triángulos distintos
como solución al problema.
Si tenemos el triángulo ABC, lo siguiente tiene que darse para que exista el caso ambiguo:
a) Solo conocemos el ángulo A y dos de sus lados a, y b; para los cuales el
ángulo A no es incluido, esdecir el ángulo tiene que ser opuesto a uno de los lados proporcionados.
b) El ángulo A es agudo, en otras palabras: menos de 90° y más de 0°.
c) El a, el lado opuesto a el ángulo A, es de menor longitud que el lado b, o a < b.
d) El lado a (opuesto al ángulo A) es de mayor longitud que la altitud del triángulo rectángulo de altura a que se puede formar, e
hipotenusa b, ó a > b sin A.


OtroModo:
Es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen los lados y angulo de un triángulo cualquiera, y que útil para resolver muchos tipos de problemas de triángulos.
La ley de los senos dice asi:

Donde A,B y C (mayúsculas) son los lados del triangulo, y alfa, beta y gama son los ángulos del triangulo: Observa que las letras minúsculas de los ángulos no están pegadas a su letramayúscula ósea la alfa esta en el ángulo opuesto de A, la Beta esta en el ángulo opuesto de la B y la Gama esta en el ángulo opuesto de C, siempre debe ser así cuando se resuelva un triangulo.

Resolver un triangulo significa encontrar todos los datos que te faltan , a partir de los datos que te dan, general mente son tres lados, en general si en un problema de triángulos te dan como datos 2angulos y un lado, usa ley de los senos si por el contrario te dan dos lados y el angulo que hacen esos dos angulos usa la ley del coseno .

En el siguente problema tienes que resolver el triangulo

Llamamos beta al angulo de 27° porque esta opuesto con el lado B Alfa al angulo de 43° y A al lado de 5. Lo que tenemos es lo siguiente
1.- A=5
2.- B=?
3.- C=?
4.-Alfa=43
5.-Beta=27
6.-Gama=?
ELangulo es fácil de encontrar ya que la suma de los ángulos internos siempre sumara 180° Osea que cuando te den dos angulos de un triangulo el tercero se obtendrá asi:

G= 180-A-B=?
Esta formula es valida para cualquier triangulo. Sustituimos para esta expresión los angulos que nos den y queda de la siguente forma

G= 180-43-27=180-70=110
G=110
Ya tenemos entonces los tres angulos . Paraencontrar los lados faltantes usamos la ley de los senos




De acuerdo con la figura adjunta, determine el valor de “x”.
Se tiene que el ángulo opuesto a “x” es: 





Cuando se dan dos lados y un ángulo opuesto a uno de los lados dados. En caso puede ocurrir que existan dos soluciones, un ángulo agudo y su complemento, o bien exista una solución para el agudo, o simplemente noexista soluciones para el ángulo agudo. 

Ejemplo #3:
Encontrar el valor de la variable “y” en la figura adjunta.
En este caso , ya que se opone al lado de longitud 27 y . Por lo tanto tiene una solución.
Se tiene que: 



Resolución de triángulos por la ley de los Senos
Resolver un triángulo significa obtener el valor de la longitud de sus tres lados y la medida de sus tres ángulosinternos.Para resolver triángulos que nos son rectángulos se utiliza la ley de senos y/o la ley de cosenos. Todo dependerá de los valores conocidos.Ejemplo: Supongamos que en el triángulo de la figura 1 . Encontrar la longitud del del tercer lado y la medida de los otros dos ángulos.
Solución:Calculemos el ángulo 



como los tres ángulos internos deben sumar 180º , podemos obtener el ángulo ,Para calcular el lado c podemos utilizar nuevamente la ley de senos:




El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.Si usamos una circunferencia unitaria (con radio igual a uno), entonces la hipotenusa, AB, del triángulo se hace 1, por lo que las relaciones quedan
 cos α = sen β = |AC| / |AB| = |AC| / 1 = |AC| = b
Para cualquier triangulo se...