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1. OPERACIONES CON FUNCIONES

Operaciones con funciones.
Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división entre funciones son posibles y semejantes a las correspondientes efectuadas con los números. En esta sección definiremos la composición de funciones y la función inversa de una función; estos dos conceptos –composición e inversión de funciones- son importantes en el desarrollodel cálculo. Reconocer una suma, producto, cociente o composición de funciones es útil porque permite descomponer funciones complicadas en otras más sencillas.

3.1 Álgebra de funciones.
En esta sección consideraremos las operaciones con funciones. Las funciones obtenidas a partir de estas operaciones –llamadas la suma, la diferencia, el producto y la división se definen como sigue:Definición 3.1.
Sean f y g dos funciones y supongamos que Df y Dg denotan los dominios de f y g, respectivamente. La función f + g está definida por :
(f + g )(x) = f(x) +g(x)
El dominio de f + g es Df ∩ Dg

Ejemplo 3.1.
Sea f(x) = x y g(x) = x . Entonces (f + g) (x) = x + x . El dominio de f es (−∞,∞) y el dominio de g es [0, ∞). Así el dominio de f + g es Df ∩Dg = (-∞, ∞) ∩ [0, ∞) = [0, ∞).Ejemplo 3.2.
Sea f(x) = x3 – 1 y g(x) = 4x. Si x = 3, entonces f(3) = (3)3 – 1 = 26 y g(3) = 4(3) = 12.
Así, (f + g) (3) = f(3) + g(3) = 26 – 12 = 14.

Definición 3.2.
Sean f y g dos funciones y supongamos que Df y Dg denotan los dominios de f y g, respectivamente. La función f - g está definida por
(f – g)(x) = f(x) - g(x)
El dominio de f - g es Df ∩ Dg

Ejemplo 3.3.
Seaf(x) = x +1 y g(x) = x − 4 , entonces f( - g)(x) = f(x) – g(x) = x +1 - x − 4 .
El dominio de f es [-1, ∞), y el dominio de g es [4, ∞). El dominio de f – g es :
Df ∩ Dg = [-1, ∞) ∩ [4, ) = [4, ∞).

Definición 3.3.
Sean f y g dos funciones y Df y Dg denotan los dominios de f y g, respectivamente. La función f ⋅ g está definida por (f ⋅ g)(x) = f(x)⋅ g(x). El dominio de f ⋅ g es Df ∩ DgEjemplo 3.4.
Sea f(x) = x – 2 y g(x) = x + 2. Entonces (f⋅g)(x) = f(x) g(x) = ( x + 2 )( x - 2) = x2 - 4.
El dominio de f es (−∞, ∞) y el dominio de g es (−∞, ∞). Por tanto el dominio de f ⋅ g es:
Df ∩ Dg = (−∞, ∞).

Definición 3.4.
Sean f y g dos funciones y Df , Dg sus dominios respectivamente. Entonces la función f/g está definida por:
(f/g)(x) = f(x)/g(x) , g(x) ≠ 0
Eldominio de f /g es Df ∩ Dg excluyendo los valores de x para los cuales g(x) = 0.

Ejemplo 3.5.
Sea f(x) = | x | y g(x) = 5. Entonces (f ⋅g)(x) = f(x) g(x) = | x |⋅5. El dominio de f es 3 y el dominio de g es 3. Entonces el dominio de f ⋅ g es Df ∩ Dg = 3. Si x = -2, entonces:
(f ⋅g)(-2) = f(-2) ⋅ g(-2) = |-2|5 = 2⋅5 = 10.

Ejemplo 3.6.
Si f(x) = x + 4 y g(x) = x2 – 1. Entonces (f/g) (x) =f(x) / g(x) = x + 4/(x2 – 1). El dominio de f y el de g son los números reales. La función g(x) = x2 – 1 es cero para x = 1 y x = -1. Por lo tanto el dominio de f/g es R – {-1, 1}

Ejemplo 3.7.
Si f(x) = x y g(x) = −x . Encuentre (f/g) (x).

Solución:
El dominio de f es [0, ∞) y el dominio de g es (-∞, 0]. Entonces Df ∩Dg = {0}, pero g(x) = −x es cero para x = 0. Ahora el dominio def/g es Df ∩Dg excluyendo los valores para los cuales g(x) es igual a cero. Por lo tanto el dominio de f/g es el conjunto vacío. De donde se tiene que la función (f/g)(x) = x / −x no tiene dominio.

2. COMPOSICION DE FUNCIONES

Sabemos que la notación “g(a)” significa el valor de la función g(x) cuando x = a; se
Obtiene al sustituir a por x, siempre que x aparezca en la expresión deg(x). Por ejemplo,
si g(x) = x3 + 2, entonces g(a) = a3 + 1;
si g(x) = x − x , entonces g(a) = a − a .
Si f(x) es una función, entonces g(f(x)) es la función que se obtiene al sustituir f(x) en lugar de x, siempre que ésta ocurra en la expresión de g(x). La función g(f(x)) es llamada la compuesta de g con f y se utiliza el símbolo operacional o para denotar la compuesta de g con f. Así...
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