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LA CIRCUNFERENCIA EN EL PLANO DE LOBACHEVSKI


Aclaremos cómo se expresa en la carta τ la circunferencia del plano de Lobachevski.
Tracemos a través del punto M de la recta u la recta euclidiana p perpendicular a u , y elijamos en ella en el semiplano τ dos puntos arbitrarios B y C (figura 24: MB > MC ). Construyamos en p el punto A de tal manera que se cumpla la igualdad

CM / AM = AM / BMDe esta igualdad deducimos que las longitudes hiperbólicas de los segmentos CA y AB son iguales. Efectivamente, la transformación de similitud con centro de similitud M y coeficiente
CM pasa el segmento AB a CA .
Designemos por O el centro euclidiano del segmento BC , describamos desde el centro O con radio OB la circunferencia euclidiana q y construyamos el punto simétrico a A respecto a larecta u .

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Figura 24

Como
OA = OM — AM, OA 1 = OM + MA 1 = OM + AM,
resulta que
OA · OA 1 = OM 2 - AM 2 . (7)
Luego,
OM = 1/2 ( BM + CM ).
y, en virtud de la igualdad (6),
AM 2 = BM · CM .

Por consiguiente, a la igualdad (7) se le puede dar la forma
OAOA 1 = 1/4 ( BM+ CM ) 2 - BM·CM =
= 1/4 ( BM 2 + 2 BM·CM + CM 2 - 4 BM · CM )
o
OA-OA 1 = 1/4 ( BM - CM ) 2 . (8)
Puestoque
1/2 ( BM - CM) = OB ,

de la igualdad (8) obtenemos

OA · OA 1 = OB 2 .

De aquí vemos que los puntos A y A 1 son simétricos respecto a la circunferencia q .
Demostraremos que las distancias hiperbólicas de todos los puntos de la línea q respecto al punto A son iguales entre sí.
Tracemos a través de A y A 1 una circunferencia euclidiana arbitraria n (figura 25). Su centro N seencuentra en la recta u y, por consiguiente, su parte situada en el semiplano τ representa en si una recta hiperbólica.
Supongamos que a y q se cortan en los puntos D y E , y que n y u se cortan en los puntos F y G . Describamos con el radio FA desde el centro F la circunferencia euclidiana f . Las circunferencias q y f son mutuamente ortogonales, ya que f pasa por los puntos A y A 1 , que sonsimétricos respecto a q (véase el Capítulo 3); por esto la inversión respecto a f transforma la circunferencia q en sí misma.
Luego, esta misma inversión transforma la recta p , que no pasa por el polo de inversión F , en una circunferencia que pasa por F y también por los puntos A y A 1 , que durante la inversión dada permanecen inmóviles, es decir, la transforma en la circunferencia n . Por otro lado,la circunferencia n que pasa por el polo de inversión, se transforma en una recta que, precisamente, es p ya que esta recta debe pasar por los puntos A y A 1 .

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Figura 25

De aquí se deduce que los arcos AD y AE de la circunferencia u se transforman, respectivamente, en los segmentos AB y AC de la recta p . Por consiguiente, las longitudes hiperbólicas de los segmentos AD y AE de larecta hiperbólica n son iguales a las longitudes hiperbólicas de los segmentos AB y AC de la recta hiperbólica p o, dicho con otras palabras, las distancias hiperbólicas entre los puntos B , C , D , E y el punto A son iguales. Esto demuestra que la circunferencia hiperbólica se expone en la carta τ en forma de una circunferencia euclidiana que no tiene puntos comunes con la recta u ; no obstante, laimagen de su centro ( A ) no coincide con el centro ( O ) de la correspondiente circunferencia euclidiana.
Para concluir señalaremos que toda recta hiperbólica que pasa por A corta la circunferencia q en un ángulo recto, hecho análogo a la conocida propiedad de los diámetros de la circunferencia euclidiana.


LONGITUDES DE ALGUNAS CURVAS PLANAS DE LA GEOMETRÍA DE LOBACHEVSKI

Longitud delarco de la línea límite . En la figura 38 el arco ADB de la circunferencia euclidiana con centro O en la recta u representa un segmento de la recta hiperbólica, y el segmento euclidiano AB , que es paralelo a u , representa un arco de la línea límite.

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Figura 38

Designemos, respectivamente, sus longitudes hiperbólicas por 2 a y 2 s .
Utilizando la fórmula (36) obtendremos a = ln ctan...