L hospital

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Guillaume François Antaine, marqués de l'Hôpital (París, 1661 – París, 2 de febrero de 1704) fue un matemático francés. El logro más conocido atribuido a su nombre es el descubrimiento de la Regla de L'Hôpital, que se emplea para calcular el valor límite de una fracción donde numerador y denominador tienden a cero o ambos tienden a infinito.

L'Hôpital se escribe comúnmente como"L’Hôpital" o "L'Hôpital." Él escribía su nombre con una 's'; Sin embargo, el idioma francés ha omitido desde entonces la 's' (que era muda) y añadió el acento circunflejo a la vocal precedente.

Es también el autor del primer libro de texto conocido sobre cálculo diferencia. Publicado en 1696, el texto incluye las clases de su profesor, Johann Bernoulli, en donde Bernoulli discute la indeterminación0/0. Este es el método para resolver estas indeterminaciones a través de derivadas sucesivas que lleva su nombre.

En 1694 Bernoulli y l'Hôpital acordaron que l'Hôpital le pagaría trescientos francos anuales para que le transmitiera sus descubrimientos, que l'Hôpital describiría en su libro. En 1704, tras la muerte de l'Hôpital, Bernoulli reveló la existencia del trato, asegurando que lamayoría de los descubrimientos que aparecían en el libro de l'Hôpital's eran suyos. En 1922 se encontraron documentos que apoyaban la tesis de Bernoulli. La creencia generalizada de que l'Hôpital trató de aprovecharse del descubrimiento de la regla que lleva su nombre ha resultado falsa. Publicó su libro anónimamente, agradeciendo la ayuda prestada por Bernoulli en la introducción, y nunca dijo serel descubridor de la regla.

L’Hôpital incluyó la “regla” en lo que constituye el primer texto de Cálculo diferencial impreso: Analyse des infiniment petits, publicado en París en 1696. Este texto que influyó mucho en la mayor parte del siglo XVIII, contenía muchos resultados que hoy sabemos se debían a Jean Bernoulli.
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En cálculo (matemática), la regla de l'Hôpital esutilizada para determinar límites que de otra manera sería complicado calcular. La regla dice que, dadas dos funciones f(x) y g(x) continuas y derivables en x = c, si f(x) y g(x) tienden ambas a cero cuando x tiende a c, entonces el límite cuando x tiende a c del cociente de f(x) y g(x) es igual al límite cuando x tiende a c del cociente de las derivadas de f(x) y g(x), siempre que este límite exista(c puede ser finito o infinito):

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Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo XVII Guillaume François Antaine, Marqués de l'Hôpital (1661 - 1704), quien dio a conocer la regla en su obra Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1692).

Teorema 1.

Suponga que las funciones f y g son diferenciables en unavecindad perforada del punto a y que g’(x) es distinta de cero en esa vecindad

Supongamos también que:

Lim f(x) = 0 = Lim g(x)

xà a x à a

Entonces

Lim f(x) = Lim f’ (x)

xà a g(x) x à a g’ (x)

Siempre que el límite exista del lado derecho (como número real finito) o sea +¥ ó -¥

Teorema 2:

Supongamos que las funciones f y g son diferenciables en x = 1, que:

F(a) = 0 = g(a)Y que

g’(a) ¹ 0, entonces

Lim f(x) = f’(a)

xà a g(x) g’(a)

Demostración de la regla de L’Hôpital

Supongamos que las funciones f y g del teorema 1 no solamente son diferenciables, sino también que tienen derivadas continuas cerca de x = a y que g’(a) ¹ 0. Entonces:

Lim f’ (x)

Lim f’ (x) = xà a = f’ (a)

xà a g’(x) Lim g’ (x) g’(a)

xà a

Por la ley de límitesde cocientes. En este caso la Regla de L’Hôpital en la ecuación (2) se reduce al límite.

Lim f(x) = Lim f’(a)

xà a g(x) xà a g’(a)

Que es una forma débil de la regla. En realidad esta forma débil es la que se aplica por lo general en las aplicaciones con un solo paso de la Regla de L’Hôpital.

Regla de L’Hôpital y formas Indeterminadas:

Forma...
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