L`hopital

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la regla de L'Hôpital es una consecuencia del Teorema del valor medio de Cauchy que se da sólo en el caso de las indeterminación del tipo  ó . 2 3 4

Sean f y g dos funciones definidas enel intervalo [a,b], y sean f(c)=g(c)=0, con c perteneciente a (a,b) y g'(x)≠0 si x≠ c .Si f y g son derivables en (a,b), entonces si existe el límite f'/g' en c, existe el límite de f/g (en c) y es igual alanterior. Por lo tanto, |
Demostración
El siguiente argumento se puede tomar como una «demostración» de la regla de L'Hôpital, aunque en realidad, una demostración rigurosa de la misma requiere deargumentos e hipótesis más fuertes para su demostración.2 4 Se asume que tanto f como g son diferenciables en c.
* Dado que f(c)=g(c)=0 el cociente f(x)/g(x) para a<x<b se puede escribir de lasiguiente manera:

* Sabemos que f y g son diferenciables en c, por lo tanto, utilizando la definición de derivada:

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[editar]Ejemplos
Laregla de l'Hôpital se aplica para salvar indeterminaciones que resultan de reemplazar el valor numérico al llevar al límite las funciones dadas. La regla dice que, se deriva el numerador y el denominador, por separado; es decir: sean las funciones originales f(x)/g(x), al aplicar la regla se obtendrá: f'(x)/g'(x).
[editar]Aplicación sencilla

[editar]Aplicación consecutiva
Mientras la funciónsea n veces continua y derivable, la regla puede aplicarse n veces:
   
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[editar]Adaptaciones algebraicas
Dada la utilidad de la regla, resultapráctico transformar otros tipos de indeterminaciones al tipo  mediante transformaciones algebraicas:
[editar]Cocientes incompatibles
Las indeterminaciones de tipo  se pueden transformar mediante la dobleinversión de los cocientes:

De esta forma se puede demostrar que las indeterminaciones de tipo  también se pueden resolver por medio de la aplicación de la regla de L'Hôpital de forma directa,...
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