M´etodos de dise˜no para sistemas no

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Notas del Curso M´todos de Dise˜o para Sistemas No e n Lineales

Jaime A. Moreno
Universidad Nacional Aut´noma de M´xico (UNAM) o e Instituto de Ingenier´ M´xico D.F.,M´xico ıa, e e Email: JMorenoP@ii.unam.mx

24 de Marzo de 2010

´ Indice general
I Control 1

1. Algunas propiedades de sistemas

2

2. Algunas Herramientas Geom´tricas e

60

3. Estabilizaci´n o

122

4.Estabilizaci´n Robusta o

259

5. Seguimiento

314

6. Regulaci´n robusta estructural: Control Integral o

328

Parte I Control

Cap´ ıtulo 1 Algunas propiedades de sistemas

1.1.

Grado Relativo

Sistema No Lineal SISO (Una Entrada Una Salida) af´ en la entrada ın
x = f (x) + g (x) u ˙ y = h ( x)

d´nde o

f , g , h son suficientemente suaves en un dominio D ⊆ Rn

f :D → Rn y g : D → Rn son campos vectoriales en D

Tomando la derivada temporal de la salida
∂h (x) y= ˙ x ˙ ∂x ∂h (x) ∂h (x) f (x) + g (x) u = ∂x ∂x Lf h (x) + Lg h (x) u

d´nde o
∂h (x) Lf h (x) = f (x) ∂x es la Derivada de Lie de h con respecto a f o a lo largo de f .

N´tese o
Lg Lf h (x) = ∂ Lf h (x) ∂x g (x)

L2 h (x) f

= Lf Lf h (x) =

∂ Lf h (x) ∂x

f (x)

Lk h (x) = LfLk−1h (x) = f f

∂ Lk−1h (x) f ∂x

f (x)

y se define por convenci´n o
L0 h (x) = h (x) f

Luego
y = Lf h (x) + Lg h (x) u ˙

Si
Lg h (x) = 0

entonces
y = Lf h (x) ˙

La primera derivada de la salida no depende de la entrada u. Tomando una derivada (con respecto al tiempo) adicional de la salida
y
(2)

=y= ¨

∂ Lf h (x)

∂x = L2 h (x) + Lg Lf h (x) u f

[f (x) + g (x)u]

Si
Lg Lf h (x) = 0 y (2) = L2 h (x) f ⇓

Derivamos con respecto al tiempo una vez m´s a
∂ L2 h (x) f

y (3) =

∂x 2 = L3 h (x) + Lg Lf h (x) u f

[f (x) + g (x) u]

Si

Lg L2 h (x) = 0 f ⇓ y (3) = L3 h (x) f

Generalizando: Si
Lg Li−1h (x) = 0 , i = 1, 2, . . . , ρ − 1 ; f Lg Lf
ρ−1

h (x) = 0 ⇓ y (i) = Li h (x) , i = 1, 2, . . . , ρ − 1 ; f y (ρ) = Lf h (x) + Lg Lf
ρρ−1

h (x) u

Definici´n 1 El sistema SISO o
x = f (x) + g (x) u ˙ y = h ( x)

tiene grado relativo ρ, 1 ≤ ρ ≤ n, en D0 ⊂ D ⊂ Rn si ∀x ∈ D0
Lg Li−1h (x) = 0 , i = 1, 2, . . . , ρ − 1 ; f
ρ−1

Lg Lf

h (x) = 0

Ejemplo 2
x1 = x2 ˙ x2 = −x1 + ε 1 − x2 x2 + u , ε > 0 ˙ 1 y = x1

y = x1 = x2 ˙ ˙ y = x2 = −x1 + ε 1 − x2 x2 + u ¨ ˙ 1

Grado relativo = 2 sobre R2 Ejemplo 3 ˙ x1 = x2x2 = −x1 + ε 1 − x2 x2 + u , ε > 0 ˙ 1 y = x2

y = x2 = −x1 + ε 1 − x2 x2 + u ˙ ˙ 1

Grado relativo = 1 sobre R2

Ejemplo 4
x1 = x2 ˙ x2 = −x1 + ε 1 − x2 x2 + u , ε > 0 ˙ 1 2 y = x1 + x2

y = x1 + 2 x2 x2 = x2 − 2 x1 x2 + 2 ε 1 − x2 x2 + 2 x2 u ˙ ˙ ˙ 1 2

Grado relativo = 1 sobre D0 = x ∈ R2 | x2 = 0

Ejemplo 5 Motor de corriente directa controlado por campo
x1 = −ax1 + u ˙ x2 =−bx2 + k − cx1x3 ˙ x3 = θx1x2 ˙ y = x3 a, b, c, k, θ son constantes positivas

y = x3 = θx1x2 ˙ ˙ y = θ x1x2 + θx1x2 ¨ ˙ ˙

= [−aθx1x2 + θx1 (−bx2 + k − cx1x3)] + θx2u Grado relativo = 2 sobre D0 = x ∈ R2 | x2 = 0

1.2.

Forma Normal

Para el sistema SISO
x = f (x) + g (x) u ˙ y = h ( x)

con grado relativo ρ, 1 ≤ ρ ≤ n, en D0 ⊂ D ⊂ Rn
Lg Li−1h (x) = 0 , i = 1, 2, . . . , ρ − 1 ; ∀x ∈D0 f Lg Lf
ρ−1

h (x) = 0 ; ∀x ∈ D0

sea el cambio de variables

φ1 (x)  . .    φn−ρ (x)   z = T ( x) =  − − −  h ( x)   .  .  ρ−1 Lf h (x)



            



φ (x) ψ ( x)

   −−− 





η ξ

   −−− 



φ1 (x),· · · ,φn−ρ (x) son elegidos de tal forma que T (x) sea un difeomor-

¯ fismo en un dominio D0 ⊂ D0 ⊂ D.

Entonces ladin´mica del sistema en las nuevas coordenadas es a
η = ∂x [f (x) + g (x) u] = f0 (η, ξ ) + g0 (η, ξ ) u ˙ ∂Li−1h(x) ˙ ξi = f [f (x) + g (x) u]
∂x i h (x) + L Li−1h (x) u = ξ = Lf g f i+1 , ρ ρ−1 ˙ ξρ = Lf h (x) + Lg Lf h (x) u y = ξ1 ∂φ(x)

1≤i≤ρ−1

El´ ıjase φ (x) tal que T (x) sea un difeomorfismo y
∂φi (x) ¯ g (x) = 0 , 1 ≤ i ≤ n − ρ ; ∀x ∈ D0 ∂x

Comentario 6 Esto siempre es...
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