M.o.a y m.o.f

Movimiento Oscilatorio Amortiguado
Movimiento Oscilatorio Forzado

BARCELONA, 28 DE SEPTIEMBRE DE 2009.
INTRODUCCIÓN
La teoría de los movimientos osciladores amortiguados y forzados es fundamental en muchos ámbitos de la física y la ingeniería.
Un oscilador amortiguado por si solo dejará de oscilar en algún momento debido al roce, pero podemos mantener una amplitud constante aplicando unafuerza que varíe con el tiempo de una forma periódica a una frecuencia definida siendo este movimiento resultante una oscilación forzado. Si se suprime la excitación externa, el sistema oscilará con su frecuencia natural. Si la fuerza impulsora se aplica con una frecuencia cercana a la natural, la amplitud de oscilación es máxima. Así mismo si la frecuencia aplicada coincide con la natural y laamplitud de velocidad se hace máxima Este fenómeno se denomina resonancia.

A continuación estudiaremos cada uno de los movimientos de manera más detallada y precisa.



MOVIMIENTO OSCILATORIO AMORTIGUADO (M.O.A)
En la naturaleza existe lo que se conoce como fuerza de fricción (o rozamiento), que es el producto del choque de las partículas (moléculas) y la consecuente transformación dedeterminadas cantidades de energía en calor. Ello resta cada vez más energía al movimiento (el sistema oscilando), produciendo finalmente que el movimiento se detenga. Esto es lo que se conoce como movimiento oscilatorio amortiguado.
En la oscilación amortiguada la amplitud de la misma varía en el tiempo (según una curva exponencial), haciéndose cada vez más pequeña hasta llegar a cero. Es decir,el sistema se detiene finalmente en su posición de reposo.

FUERZA RESISTIVA. (EJEMPO Y FORMULA)
La fuerza resistiva es aquella que es aproximadamente proporcional y opuesta a la velocidad del objeto, que se mueve dentro del medio viscoso. Podemos suponer que además de la fuerza elástica F=-kx, actúa otra fuerza opuesta a la velocidad F'=-ʎv, donde ʎ es una constante que depende del sistemafísico particular. Todo cuerpo que se mueve en el seno de un fluido viscoso en régimen laminar experimenta una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad y de sentido contrario a ésta.
Las fuerzas resistivas mas comunes son las presentes en fluidos como el aire, aceite entre otros.

TIPOS DE AMORTIGUACIONES
Amortiguación Fuerte
Si ∝ es mayor que ωo, el valor de la raíz cuadrada de estaecuación λ= -∝±∝2-ωo2 es real, por lo tanto, esta ecuación tendrá 2 valores reales negativos λ1 y λ2, pues ∝ es siempre mayor que ∝2-ωo2. Este tipo de amortiguación no produce ninguna oscilación y el sistema tarde un gran tiempo para regresar a su equilibrio.
La solución de la ecuación del Movimiento del Oscilador Amortiguado será:
X = Aeλ1t + Aeλ2t
Donde A y B son constantes que dependen delas condiciones iniciales.
Amortiguación Crítica
Si ∝ es igual que ωo, la raíz cuadrada de esta ecuación λ= -∝±∝2-ωo2 se anula y las soluciones son λ1 = λ2 = ∝. La solución para x tiene la forma:
Xt = At+Be-∝t
Donde A y B dependen de nuevo de las condiciones iniciales.
Este tipo de movimiento hace que el sistema regrese rápidamente al equilibrio.

Amortiguación Débil
Si ∝ es menor que ωo,la raíz cuadrada de esta ecuación λ= -∝±∝2-ωo2 se hace imaginaria, entonces λ1 y λ2 son valores complejos. Definiríamos la frecuencia de amortiguación como:
w1 = wo2-∝2
Luego λ= -∝±jw1, de manera que la solución es:
Xt= Ae-∝+jw1t + Be-∝-jw1t
Desarrollando:
Xt= e-∝tAejw1t+ Be-jw1t
Entonces, es posible escribir este resultado de nuevo en términos de funciones senoidales si se usa lafórmula de Euler:
e±jo = cosℴ ± jsenℴ
Es decir,
Xt = e-∝t Acosw1t+ϕ+ jsenw1t+ϕ+ Bcosw1t+ϕ- jsenw1t+ϕ
Xt = e-∝t A+Bcosw1t+ϕ+ jA-Bsenw1t+ϕ
Esta es la solución matemática. La solución física que necesitamos puede ser cualquiera de las dos partes de la solución anterior, es decir, se puede escoger la parte real o la imaginaria; para este trabajo se ha escogido la parte real, sin que esto implique...