N meros complejos

Números complejos
Un número complejo es una combinación de un número real y un número imaginario
Ejemplos:
1 + i
12 - 3.1i
-0.85 - 2i
π + πi
√2 + i/2
 
¿Un número que es una combinación de dos números?

¿Puedes hacer un número combinando a partir de otros dos? ¡Claro que puedes!
Lo haces todo el tiempo en las fracciones. La fracción 3/8 es un número hecho de un 3 y un 8. Sabemos que significa"3 de 8 partes iguales".
Pues bien, un número complejo es simplemente dos números sumados juntos (uno real y uno imaginario).
Cero
Entonces, un número complejo tiene una parte real y una parte imaginaria.
Pero cualquiera de las dos puede ser 0, así que los números reales y los imaginarios son también números complejos.
Número complejo
Parte real
Parte imaginaria
3 + 2i
3
2
5
5
0
-6i
0
-6
 
Sumar ymultiplicar
Para sumar dos números complejos sumamos las dos partes por separado:
(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)
Ejemplo: (3 + 2i) + (1 + 7i) = (4 + 9i)

Pero para multiplicarlos seguimos una regla más interesante:
(a,b)(c,d) = (ac-bd, ad+bc)
Ejemplo: (3 + 2i)(1 + 7i) = ((3×1 - 2×7) + (3×7 + 2×1)i) = -11 + 23i
Y una cosa interesante es que el cuadrado de "i" sí que es -1
Ejemplo: (0 + i)(0 + i) =((0×0 - 1×1) + (0×1 + 1×0)i) = -1 + 0i
División de Números Complejos
Para dividir dos complejos, se multiplica el dividendo y el divisor por el conjugado de éste, así el divisor pasará a ser un número real.
Como en la multiplicación, podemos representar los complejos por vectores, para poder comprobar los resultados

Números imaginarios
Definición

Un número que cuando se eleva al cuadrado (semultiplica por sí mismo) da un resultado negativo.
Intentos
Vamos a probar a elevar algunos números al cuadrado a ver si podemos sacar un resultado negativo:
2 × 2 = 4

(-2) × (-2) = 4 (porque negativo por negativo da positivo)

0 × 0 = 0

0.1 × 0.1 = 0.01
¡No hay suerte! Siempre positivo, o cero.
Eso es porque estamos calculando el cuadrado de números reales.

Pero imagina que hay un número(vamos a llamarlo i de imaginario) que cumpliera esto:
i × i = -1
¿Sería útil, qué podríamos hacer con él?
Bueno, haciendo la raíz cuadrada de los dos lados tendríamos un valor para la raíz cuadrada de -1:

Y eso es muy útil... simplemente aceptando que exista i podemos resolver muchos problemas donde nos hace falta la raíz cuadrada de un número negativo.
Ejemplo: ¿cuál es la raíz cuadrada de -9?Respuesta: √(-9) = √(9 × -1) = √(9) × √(-1) = 3 × √(-1) = 3i
Mientras tengamos esa pequeña "i" ahí para recordarnos que hay que multiplicar por √-1 no tendremos problemas con seguir calculando para llegar a la solución.

Unidad imaginaria
La "unidad" imaginaria (el equivalente al 1 de los números reales) es √(-1) (la raíz cuadrada de menos uno).
En matemáticas se usa i (de imaginario) pero enelectrónica se usa j (porque "i" ya es la corriente, y la letra siguiente después de la i es la j).
Ejemplos de números imaginarios
i
12.38i
-i
3i/4
0.01i
-i/2
Los números imaginarios no son "imaginarios"
De hecho hubo un tiempo en que se pensó que los números imaginarios eran imposibles, y por eso se llamaban "imaginarios" (a modo de broma).
Pero después hubo gente que investigó más y descubrió que sonútiles e importantes porque rellenan un hueco en matemáticas... pero el nombre de "imaginario" se mantuvo.

Utilidad
Aquí tienes dos ejemplos en los que son útiles:
Electricidad


 
La CA o AC (corriente alterna) cambia de positivo a negativo siguiendo una onda sinusoidal.
Si combinas dos corrientes alternas puede que no coincidan bien, y puede ser muy difícil calcular la nueva corriente.
Perousar números reales e imaginarios juntos hace mucho más fáciles los cálculos.
 
 
Y el resultado puede ser corriente "imaginaria", ¡pero puede hacerte daño igual!
Ecuación cuadrática

Una ecuación cuadrática puede dar resultados con números imaginarios...
 
 
... pero quizás después de más cálculos el número "i" se cancela (o se convierte en real porque está al cuadrado), dando una respuesta...