P 3

Un tubo de 50 mm de radio exterior y 5 mm de espesor, y de longitud L=5 m, se
encuentra sometido a las ligaduras y carga que aparecen en la figura.

z

B

A

P

u

L

Por un error en su proceso defabricación, el tubo no es perfectamente recto
sino que tiene una forma definida por la función (referida a los ejes indicados
en la figura):

u 0 ( z ) = u 0 sen

πz
L

donde u0 es la milésima parte dela longitud L del tubo.
Cuando P=50 kN, determinar cuál es el coeficiente de seguridad, respecto de la
carga que produciría la plastificación en algún punto del tubo, sabiendo que el
material deltubo tiene un límite elástico σy de 220 MPa y un módulo de elasticidad
E de 210 GPa.

Una sección genérica C de la pieza posee un desplazamiento según el eje z suma
de otros dos: uno, u0(z), debido alfallo del proceso de fabricación, y otro, u(z),
como consecuencia del pandeo lateral.
Aislando la porción BC de la pieza, se tiene:

z
C
u0
u

B

P

P
M

por lo que, para que exista equilibrio, deberáverificarse que:

M = P[u 0 ( z ) + u ( z )]
Como, por otra parte, se cumple que:

d 2 u(z )
EI
M =−
2
dz

d 2 u (z ) P
P
(
)
+
u
z
=
−
u 0 (z )
2
EI
EI
dz

Definiendo k como:

P
k =
EI
2

πz
d 2 u(z )
2
2
2
+ k u ( z ) = − k u 0 ( z ) = − k u 0 sen
2
l
dz
La solución de esta ecuación diferencial será suma de la solución general de la
ecuación homogénea:

d 2 u (z )
2
+
k
u (z ) = 0
2
dz

u ( z) = C1 cos kz + C 2 sen kz
más una solución particular de la ecuación diferencial

u ( z ) = A sen

πz
L

A=−

k 2u0
k −
2

π2
L2

u ( z ) = C1 cos kz + C 2 sen kz + A sen

πz
L

Para obtener elvalor de C1 y C2 impongamos las siguientes condiciones de
contorno:
En z=0, u=0 que conduce a que C1=0
En z=L, u=0 que conduce a:

C 2 sen kL = 0
La solución kL=np, donde n es un número entero, no esválida en este caso
pues la ecuación debe cumplirse para todos los valores de k. Por tanto,
C2=0.
La solución general de la ecuación diferencial es:

u (z ) = −

k 2u0
k −
2

π

2

L2

sen

πz
L

La...