U Estudio Sobre El Sistema De Amortiguación De Un Vehículo, Aproximación Numérica

Páginas: 9 (2050 palabras) Publicado: 5 de mayo de 2012
Modelizaci´n Matem´tica o a
Pr´ctica 1 a Curso 2011-2012

Manuel Angel Maldonado Silva

Facultad de Matem´ticas a Universidad de Sevilla

Ejercicio 1
Aplicando la Segunda Ley de Newton, obt´n la ecuaci´n del movimiento e o en los siguientes casos: 1. Caso de vibraciones libres: las unicas fuerzas que intervienen son las ´ ejercidas por los muelles y los amortiguadores. 2. Caso devibraciones forzadas: adem´s de los muelles y los amortiguaa dores, el autom´vil est´ sujeto a la acci´n de una fuerza peri´dica dada o a o o por P = Pm sin(ωt) (a ω se le denomina frecuencia forzada y supondremos constante). En ambos casos escribe la ecuaci´n del movimiento de manera equivao lente a un sistema diferencial ordinario de primer orden. soluci´n o 1. Caso 1. Vamos a suponer que el sistema seencuentra en equilibrio. Las fuerzas que act´an sobre el veh´ u ıculo son: a) La fuerza ejercida por el muelle, k x. De sentido contrario al peso.
→ →

b) La fuerza ejercida por el amortiguador, cx . De sentido contrario al peso. c) La fuerza ejercida por la masa del veh´ ıculo, p = m g . d ) La fuerza que ejerce la superficie sobre el veh´ ıculo, F N . De sentido contrario al peso. La SegundaLey de Newton establece que: F = mx . 1
→ → → → →

2 Adem´s, las fuerzas c) y d) se anulan una a la otra (son de igual m´dulo a o y de sentido contrario). Por lo que la Ley anterior, en m´dulos, quedar´ o ıa como: −kx − cx = mx , o lo que es lo mismo c k x− x, m m que es una ecuaci´n diferencial de orden 2 que podemos poner como el o siguiente sistema de ecuaciones diferenciales de orden 1: x=−            y1 = y2 = y1 (t = 0) = 0
k − m y1

y2
c − m y2

P.C.

y2 (t = 0) = 0

donde x = y1 y x = y2 . Con las condiciones iniciales indicamos que en el instante t = 0, el veh´ ıculo de encuentra en la posici´n x = 0 y sin o velocidad. 2. Caso 2.En este caso, adem´s de las fuerzas anteriores tenemos en cuena ta una fuerza externa que depende de t, t´rmino independiente dela e ecuaci´n diferencial, por lo que la Ley de Newton, en m´dulos, quedar´ o o ıa como: −kx − cx + Pm sin(ωt) = mx , que induce el sistema  y2 y1 =      k c − m y2 + Pm sin(ωt) y2 = − m y1 P.C. m      y1 (t = 0) = 0 y2 (t = 0) = 0 Nota 1. Para simplificar la notaci´n no hemos indicado que todas las variao bles del problema, en realidad son funciones de t x = x(t), y1 = y1 (t), y2 = y2(t).

Ejercicio 2
Para el caso de vibraciones libres, estudia los puntos de equilibrio del sistema de suspensi´n as´ como la estabilidad de ´stos. Determina la relaci´n o ı e o existente entre la estabilidad de los puntos de equilibrio y el car´cter sobrea amortiguado, subamortiguado o cr´ ıticamente amortiguado del sistema. soluci´n o Tenemos el sistema de ecuaciones diferenciales siguiente: y1 = y2      c k − m y2 − m y1 y2 = P.C.      y1 (t = 0) = 0 y2 (t = 0) = 0 cuya matriz  A= 0
k −m

1
c −m

 

es de rango completo, ya que k, m > 0, luego el sistema tiene una unica ´ soluci´n: y1 = 0, y2 = 0. Para analizar la estabilidad de la soluci´n, vamos a o o calcular los autovalores de la matriz A e intentaremos sacar conclusiones a partir de ellos. −λ det(A − λI) =k c −m −m − λ

1 = −λ(−

c k − λ) + =0⇔ m m

c2 − 4mk 2m Dependiendo de los valores de c,m y k podemos encontrarnos en los siguientes estados. mλ + cλ + k = 0 ⇔ λ =
2

−c ±



3

4 1. c2 < 4mk ⇒ autovalores complejos conjugados. La parte real de los au−c o tovalores, 2m < 0, por tanto la soluci´n se aproxima al equilibrio (0, 0) en forma de espiral. Diremos que (0, 0) es unaespiral estable.Adem´s a √ 2 0 < c < 4mk ⇔ 0 < c < 2 mk, lo que nos indica que el sistema est´ subamortiguado a 2. c2 = 4mk ⇒ autovalores reales negativos e iguales. Para este caso no hemos estudiado nada en teor´ veremos qu´ podemos averiguar de ´l ıa, e e desarrollando el trabajo. 3. c2 > 4mk > 0 ⇒, los autovalores son ambos reales, pero debemos analizar el signo de los mismos: √ como 0 < c2 −...
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