Álgebra 1

2-Diagrama de Hasse.
Sea A un conjunto parcial o totalmente ordenado.
Los elementos a y b de A son consecutivos si y sólo si:
2.1 Fundamento
Es posible representar un conjunto ordenado yfinito, mediante un diagrama llamado de Hasse, asignando a cada elemento del conjunto un punto del plano o bien del espacio, y uniendo cada par de elementos consecutivos por medio de un vector orientado enel sentido de x a y si .
En un diagrama de Hasse se elimina la necesidad de representar:
ciclos de un elemento, puesto que se entiende que una relación de orden parcial es reflexiva.
aristas que sededucen de la transitividad de la relación.

2.2Porque el diagrama de de hasse también se conoce como relación de orden
Porque el diagrama de hasse también se lo conoce como relaciones de ordenEn matemáticas, un diagrama de Hasse es una representación gráfica simplificada de un conjunto parcialmente ordenado finito.Concretamente, uno representa a cada miembro de S como un punto negro en lapágina y dibuja una línea que vaya hacia arriba de x a y si y sigue a x.
2.3Aplicaciones
Por ejemplo, sea el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} (todos los divisores de 60). Esteconjunto está ordenado parcialmente por la relación de divisibilidad. Su diagrama de Hasse puede ser representado como sigue:

Por ejemplo, en el diagrama de Hasse del poset de todos los divisoresde un número n, ordenados parcialmente por divisibilidad, n mismo está en el tope del diagrama, el número 1 estaría en el fondo, y los divisores más pequeños (primos) seguirían al elemento inferior.Sean: ; . R es una relación de orden parcial en A ; el diagrama de Hasse correspondiente al conjunto A ordenado por R es:
 






Ejemplo 6.
Sea A = {1,2,3,4,12}. Examínese el ordenparcial de divisibilidad de A. Esta es, si a, b  A, a  b sí y sólo sí a b. Dibuje el diagrama de Hasse del conjunto parcialmente ordenado (A,  ).
 

Ejemplo 7.
Sea S = {a, b, c} y sea A =...