Álgebra Boole

Algebra de Boole
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ÁLGEBRA DE BOOLE
George Boole (1854) desarrolló una herramienta matemática que se utiliza para el estudio de
computadores.
− La aplicación en computadores es del tipo binario ⇒ 0/1
− El estado de un elemento del circuito lógico viene representado por una variable que
puede valer “1” o “0”.
FUNCIÓN: Expresión que indica la relación entre las variables y el nº devariables
F= f(a,b,c,..) F(a,b,c) = abc + b(c + d)
TABLA DE LA VERDAD: Tabla que recoge todas las combinaciones de las variables de
entrada y los valores que toman las salidas.
F(a,b,c) = abc + abc + abc)
OPERACIONES EN EL ALGEBRA DE BOOLE
Unión o adición: F = a + b
Intersección o producto: F = a • b
Complementación F = a
Tablas de la verdad
a b F = a + b F = a • b F = a
0 0 0 0 1
0 1 10 1
1 0 1 0 0
1 1 1 1 0
a b c F
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1
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LEYES FUNDAMENTALES DEL ALGEBRA DE BOOLE
F bc F abc abc
Teorema de Shannon F f a b c a f b c a f b c
Morgan a b a b a b a b
Absorción a ab a b a a a b aa ab a
Distributiva a bc a b a c a b c ab ac
a b c a b c a b c
Asociativa a b c a b c a b c
Conmutativaa b b a a b b a
a a
a a a
a a a
a
a
a a
a a
a a
a a
= ⇒ = +
⎯⎯→ = = • + •
⎯⎯→ + = • → • = +
⎯⎯→ + = + = → + = + =
⎯⎯→ + = + + → + = +
• • = • • = • •
⎯⎯→ + + = + + = + + →
⎯⎯→ + = + → • = •
=
• =
+ =
• =
+ =
• =
+ =
• =
+ =
( , , ) (1, , ) (0, , )
(1 ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0 0
1 1
1
0
0
1
… …
Leyes de Morgan
a b a b
Leyes de Morgan a b a b
• = +… … ⎯⎯→ + = •
a b F = a + b a b F = a • b F = a • b F = a + b
0 0 1 1 1 1 1 1
0 1 0 1 0 0 1 1
1 0 0 0 1 0 1 1
1 1 0 0 0 0 0 0
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FUNCIONES LOGICAS ELEMENTALES
AND (Y) F = a • b
a b F = a • b
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
OR (O) F = a + b
a b F = a + b
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
INVER F = a
a F = a
0 1
1 0
NAND F = a • b
a b F = a • b
0 0 1
0 1 1
1 0 11 1 0
NOR F = a + b
a b F = a + b
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
O
exclusive F = a ⊕ b
a b F = a ⊕ b
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
NOR
exclusive F = a ⊕ b
a b F = a ⊕ b
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Seguidor
Buffer F = a
a F = a
0 0
1 1
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OBTENCIÓN DE LA FUNCIÓN CANÓNICA A PARTIR DELA TABLA DE LA VERDAD
Se define como término canónico de una función lógica a todoproducto o suma en el que
aparecen todas las variables en su forma directa a o complementada a .
− 1ª forma canónica minterm ⇒ suma de productos canónicos.
− 2ª forma canónica maxterm ⇒ producto de sumas canónicas.
OBTENCIÓN A PARTIR DE LA TABLA DE LA VERDAD:
Minterms: Se toman las salidas que son “1” y se expresa como suma de términos producto en
los que las variables que son “1” seexpresan como literales y las que son “0” como
invertidas.
F(a,b,c) = abc + abc + abc + abc + abc ⇒ 1 2 5 6 7 F(a,b,c) = m + m + m + m + m =Σm(1, 2,5,6,7)
Maxterms: Se toman las salidas que son “0” y se expresa como producto de términos suma en
los que las variables que son “0” se expresan como literales y las que son “1” como
invertidas.
F(a,b,c) = (a + b + c)(a + b + c)(a + b + c) ⇒ F(a,b,c) =M7⋅M4⋅M3 =ΠM(3, 4,7)
Paso de la 1ª forma canónica a la 2ª forma canónica:
1. Se representa la función invertida, tomando los términos minterm que no aparecen.
2. Se hace la inversa de la función aplicando Morgan a los términos canónicos.
3. Se obtiene el complemento a 2n-1 de cada uno de los términos.
1 2 5 6 7 F(a,b,c) = m + m + m + m + m =Σm(1, 2,5,6,7)
1. 0 3 4 F(a,b,c) = m + m + m =Σm(0,3,4)2. 0 3 4 F(a,b,c) = m + m + m =Σm(0,3,4) ⇒ 0 3 4 F(a,b,c) = m ⋅m ⋅m
3. 7 4 3 F(a,b,c) = M ⋅M ⋅M
Término
maxterm
Término
minterm a b c F
7 0 0 0 0 0
6 1 0 0 1 1
5 2 0 1 0 1
4 3 0 1 1 0
3 4 1 0 0 0
2 5 1 0 1 1
1 6 1 1 0 1
0 7 1 1 1 1
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x y z S0 S1 S2
0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0
1 0 1 1 1 0
1 1 0 1 0 1
1 1 1 1 0 1...