ÁLGEBRA BOOLEANA

UNIVERSITARIA DE DOLOMBIA
INGENIERÍA DE SISTEMAS
LÓGICA MATEMÁTICA
ALGEBRA BOOLEANA

Definiciones en el cálculo lógico
Cálculo lógico
Para establecer un Sistema formal se establecen las definiciones de los operadores. Las definiciones se harán en función del fin que se pretenda al construir el sistema que haga posible la formalización de argumentos:Como razonamientos deductivos lógico-lingüísticos
Como construcción de un sistema matemático puro
Como una aplicación lógica en un Circuito de conmutación.

Verdadero
El valor verdadero se representa con la letra V; si se emplea notación numérica se expresa con un uno: 1; en un circuito eléctrico, el circuito está cerrado.
Falso
El valor falso se representa con la letra F; si se emplea notación numérica se expresa con un cero: 0; en un circuitoeléctrico, el circuito está abierto.
Variable
Para una variable lógica A, B, C,... que pueden ser verdaderas V, o falsas F, los operadores fundamentales se definen así:



Negación
La negación es un operador que se ejecuta, sobre un único valor de verdad, devolviendo el valor contradictorio de la proposición considerada.



Conjunción
La conjunción es un operador que opera sobre dos valores deverdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones son verdaderas, y falso en cualquier otro caso. Es decir es verdadera cuando ambas son verdaderas
La tabla de verdad de la conjunción es la siguiente:


Disyunción
La disyunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad dedos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando una de las proposiciones es verdadera, o cuando ambas lo son, y falso cuando ambas son falsas.
La tabla de verdad de la disyunción es la siguiente:







Implicación o Condicional
El condicional material es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo elvalor de falso sólo cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa, y verdadero en cualquier otro caso.
La tabla de verdad del condicional material es la siguiente:


Equivalencia, Doble implicación o bicondicional








Es un operador que funciona sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendoel valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, y falso cuando sus valores de verdad son diferentes.
La tabla de verdad del bicondicional es la siguiente:




Número de combinaciones
Partiendo de un número n de variables, cada una de las cuales puede tomar el valor verdadero: V, o falso: F, por Combinatoria, podemos saber queel número total de combinaciones: Nc, que se pueden presentar es:

el número de combinaciones que se pueden dar con n variable, cada una de las cuales puede tomar uno entre dos valores lógicos es de dos elevado a n, esto es, el número de combinaciones: Nc, tiene crecimiento exponencial respecto al número de variable n:

Si consideramos que un sistema combinacional de n variables binarias, puedepresentar un resultado verdadero: V, o falso: F, para cada una de las posibles combinaciones de entrada tenemos que se pueden construir Cp circuitos posibles con n variables de entrada, donde:

Que da como resultado la siguiente tabla:

Para componer una tabla de verdad, pondremos las n variables en una línea horizontal, debajo de estas variables desarrollamos las distintas combinaciones que sepueden formar con V y F, dando lugar a la distintas Nc, número de combinaciones. Normalmente solo se representa la función para la que se confecciona la tabla de verdad, y en todo caso funciones parciales que ayuden en su cálculo, en la figura, se pueden ver todas las combinaciones posibles Cp, que pueden darse para el número de variables dado.


Así podemos ver que para dos variables...