Álgebra cap 4

Instituto de Ciencias Matemáticas
Algebra Lineal: Coordenadas y Matriz de Cambio de Base

1.

Sea

W

un

subespacio

del

espacio

euclidiano

R3

y

sean

 1   0 
   
A    1,   1
 0   2 
   

y

 1   3 
   
B    2 ,   5  dos bases de W . Encuentre la matriz de cambio de base C A B
 2   4 
   

 1 0   0 0 
 1 0   2 0
, 
 y B2  
, 
 dos bases del espacio vectorial real V  D2 x 2
2   0 1 
 0 1   0 3 

2. Sean B1  
 0

1 0

5 0
 respecto a B 2
4 

 y v2  
a) Determine los vectores coordenadas de v1  
 0 5
0
b) Encuentre la matriz C B 2 B1 de cambio de base de B 2 a B1

c) Determine los vectores coordenadas de v1 y v 2 respecto a B1 empleando C B 2 B1

  2 0  3 0 
, 
 dos bases del espacio vectorial V  D2 x 2 . Sea la
1   0  1
matriz de cambio de base de B1 a B 2
 4 1

C B1B 2  
  3 1
3. Sean B1  v1 , v 2  y B2  
 0

a) Encuentre los vectores v1 y v 2 de la base B1

7 0 

 0  4

b) Usando la matriz de cambio de base C B1 B 2 , determine u B 2 si se conoce que u  

4. Sea B1  v1 , v 2 , v3  unconjunto de vectores del espacio vectorial V . Sea B2  u1 , u 2 , u 3  una
base de V
a) Demuestre que B1 es una base de V

si se sabe que v1  u1  u 2 , v 2  u 2  u 3 y

v3  2u1  u 2  u 3
b) Encuentre la matriz de cambio de base de B1  B2

Ramiro J. Saltos

 1    1  0 
     
5. Sean S 1 y S 2   0 ,  1 ,  0  dos bases de R 3 y sea la matriz de cambio de base de S 1 aS 2
 1   0   1 
     
 1  1 1


C S 1 S 2   0  2 1
 1 1 1


a) Determine la base S 1
b) Encuentre u S 1

1
 
si u   2 
 3
 

6. Sea V  P2 . Si B1  v1 , v 2 , v3  y B2  u1 , u 2 , u 3  son bases ordenadas de V , y se conoce que:

x  1B1

  1 0  1


C B1 B 2   0 1 0 
2 0 1


 1
1
 
 
 1 , x  1B1   0  y x 2
 1
0

 

 

B2

0
 
 0
1
 

Determine los vectores de las bases B1 y B 2
7. Sea V  S 2 x 2 y B una base de V tal que:

1
 
 1 2 
   1 

 2 0  B  0 
 

0
 
1 1 
   1 

1 0  B  2 
 

0
 
 1 0 
   0 

 0 1  B  1 
 

Determine:
a) Los vectores de la base B
b) La matriz de cambio de base desde B hacia la basecanónica
8. Sea V un espacio vectorial con bases B1  u1 , u 2 , u 3  y B2  2u1  u 2 , u1  3u 3 ,5u 2  . Determine la
matriz de cambio de base de B1 y B 2

 1 2  1


3  la matriz de cambio de
9. Sea V un espacio vectorial con bases B1 y B 2 . Sea A   0 1
1 1 0 


base de B1 a B 2 . Determine la matriz de transición de la base B 2 a la base B1

Ramiro J. Saltos

 2 0   0  4   00 
, 
, 
 dos bases del espacio vectorial
0

1

4
7
0
3







la matriz de cambio de base de B1 a B 2 , tal que:

10. Sean B1  v1 , v 2 , v3  y B2  

V  S 2 x 2 . Sea C B1 B 2

  3 2 1


C   1  1 5
  1 4 3


a) Determine los vectores de la base B1
b) Encuentre 3u1  2u 2 B 2 , si se conoce que u1 B1

4
  2
 
 
   1 y u 2 B1   0
0
 1 
 
 

c) Encuentre los vectores u 1 y u 2

 1 0  1 1  2 1   1 0 
 1 0   0 1   0 0   2 2 
, 
, 
, 
 y B2  
, 
, 
, 
 dos bases del
 0 1  1 1  0 0   0 0 
 0 0   0 0   1 0   2 2 
espacio vectorial V  M 2 x 2
11. Sean B1  

Determine:
a) La matriz de cambio de base C B1 B 2

 3 
 
 4 1 
 4 1 
 7    , hallar 

b) Si 
3

5
1
3

5



 B1

 B2  

 8 
 
1
 
0
c) Si  AB1   AB 2    , hallar la matriz A
1
 
0
 
12. Sean B1  p( x), q( x), r ( x) y B2  s( x), t ( x), u ( x) dos bases del espacio vectorial P2 y sean:

x

2

x



B1

s( x)  t ( x)B1

1
 
 1
0
 

 3
 
 1
1
 

x  1B1

0
 
 1
0
...