Álgebra De Boole

CAPITULO 2.

2. ÁLGEBRA DE BOOLE Y COMPUERTAS.

Es un tipo de álgebra que tiene sus fundamentos en la Teoría de Conjuntos, sus variables solamente pueden tomar dos valores: cero “0” ó uno “1”. En el álgebra de Boole se define un conjunto B = {0,1} donde cualquier variable x ε B puede valer x=0 ó x=1. En la teoría de conjuntos, los valores de las variables también adquieren valores depertenencia binaria (pertenece, o no pertenece); y sus postulados, al igual que cualquier estructura matemática, son las hipótesis de partida, aceptadas como verdaderas y sus respectivos consecuentes, demostrables a partir de su sistema axiomático. Los postulados y los teoremas pueden comprobarse sustituyendo las variables por los dos elementos del conjunto B. Los postulados, también llamados axiomas, sonrelativos tanto al conjunto de elementos como a los operadores que se hayan definido en el sistema. Para el caso concreto del álgebra de Boole se pueden utilizar diferentes conjuntos de postulados. No obstante, el más utilizado es el propuesto por Huntington en 1904 que se detalla a continuación. 2.1 Teoremas y leyes del álgebra de Boole. Primero se establece la relación de igualdad oequivalencia “=” para indicar que las dos variables x e y, pertenecientes al conjunto B, son iguales; por ejemplo, x = y.

I. Leyes de composición interna. En B se definen dos leyes de composición interna, “+” (operador “O”, “OR”, o suma lógica) y “.” (operador “Y”, “AND”, multiplicación o producto lógico); siendo B cerrado para estas operaciones. ∀ x ∈ B, ⇒ a) x + y ∈ B b) x ⋅ y ∈ B

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El punto (.), utilizado como símbolo para denotar el producto, no es indispensable, aunque no aparezca, se sobreentiende. Por lo tanto, la operación x ⋅ y ∈ B ; se puede escribir de la forma: x y ∈ B .

II. Elementos neutros. Existen elementos neutros para ambas leyes de composicióninterna; las cuales son: a) Elemento neutro para la suma, ∃ 0 ∈ B / ∀ x ∈ B , x + 0 = 0 + x = x b) Elemento neutro para la multiplicación, ∃1∈ B / ∀x ∈ B , x ⋅ 1 = 1 ⋅ x = x

III. Conmutatividad de las leyes de composición interna. La suma y la multiplicación lógica son conmutativa; ∀ x, y ∈ B ; a) x + y = y + x b) x y = y x

IV. Distributividad de las leyes de composición interna. En el álgebrade Boole la suma y la multiplicación son distributivas recíprocamente. ∀ x, y, z ∈ B ; a) x + ( y z) = ( x + y )( x + z ) b) x ( y + z ) = x y + x z En el álgebra de los números reales, no se cumple el caso “a” de la distributividad.

V. Elemento opuesto. Todo elemento de B tiene su opuesto (o función NOT). A este elemento se le denomina inverso, opuesto, complemento o negado. Se representa devarias formas, dos de ellas son: ( x , x ' ). La suma y el producto de una variable con su complemento da como

resultado “1” y “0” respectivamente.

∀ x ∈ B , ∃ x ∈ B/

a) x + x = 1 b) x x = 0
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VI.

Elementos del conjunto Booleano “B”.

Este postulado esmuy obvio, sin embargo, se debe reglamentar; el postulado dice: En B hay al menos dos elementos diferentes. ∃ x, y ∈ B / x ≠ y . distintos son “0” y “1”. Con estos postulados se pueden demostrar las siguientes identidades del álgebra de Boole descritas en la tabla 2.1. Estas identidades también pueden ser demostradas mediante la teoría de conjuntos. Suma Lógica 0+0=0 0+1=1 1+0=1 MultiplicaciónLógica 0.0=0 0.1=0 1.0=0 Complemento 0 =1 1= 0 x=x x=x Los dos elementos

1+1=1 1.1=1 x+0=x x.0=0 x+1=1 x.1=x x+x=x x.x=x x + x =1 x . x =0 Tabla 2.1. Identidades del álgebra de Boole.

Principio de dualidad: En los postulados anteriores se observaron que las dos proposiciones (a y b) son duales y esto significa que se pueden obtener aplicando este principio: si en una igualdad se sustituyen...