Álgebra: dependencia e independencia lineal

A. Independencia Lineal

Un conjunto es linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.
El conjunto de vectores nulos forma la matriznula. Si tales números no existen, entonces los vectores son linealmente independientes.
La única combinación lineal de ellos es igual al vector nulo, todos los coeficientes son iguales a cero (0).Ejemplo:
Sea  un espacio vectorial, S= {v1, v2, v3, v4,…, vn} un conjunto de vectores de  y 1, 2, 3, 4,…, n  . S es linealmente independiente en  si y solo si:

1v1 + 2v2 + 3v3 +4v4 + … + n vn = 0v  1 = 2 = 3 = 4 =… n = 0

Dado S= {(1,1,0), (O,2,3), (1,2,3)}.

(1,1,0) + (0,2,3) + (1,2,3) = (0,0,0)
(,,0) + (0,2,3) + (,2,3) = (0,0,0)(+, +2+2, 0+3+3) = (0,0,0)

+ = 0
+2+2 = 0
0+3+3 = 0
Propiedades:
a. Si un conjunto de vectores es linealmente independiente, cualquier subconjunto suyo tambiénlo es.

B. Dependencia Lineal
Un conjunto es linealmente dependiente si algún vector de dicho conjunto es combinación lineal de los otros que es igual al vector cero (0), sin que sean cero todoslos coeficientes de la combinación lineal.
Pese a tener algún coeficiente distinto de cero (0), es igual al vector nulo. Tiene una solución única.

Ejemplo:
Sea  un espacio vectorial,S= {v1, v2, v3, v4,…, vn} un conjunto de vectores de  y 1, 2, 3, 4,…, n  . S es linealmente dependiente en  si y solo si:

1v1 + 2v2 + 3v3 + 4v4 + …+ n vn = 0v  i0, i=1, 2,3,…,n

Dado C= {(1,1,0), ,0,1,1), (1,2,2)}
(1,1,0) + (0,1,1) + (1,2,2) = (0,0,0)
(,,0) + (0,,) + (,2,2) = (0,0,0)
(+0+, ++2, 0++2) = (0,0,0)

+0+ =0
++2 = 0
0++2 = 0

Propiedades:
a. Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar con combinación lineal de los demás....