álgebra lineal vista rapida

Cap´
ıtulo 1

Visita r´pida a las
a

C

Matem´ticas.
a

I
I

I

ge

El c´lculo vectorial alcanzo su pleno desarrollo gracias a Jovial Gibbs,
a

n
. Mo
A

que en su libro Elements of Vector Analysis (1863) introdujo la notaci´n
o
vectorial m´s com´n en la actualidad. La gran claridad en la exposici´n de
a
u
o
conceptos f´
ısicos que permite dicho formalismo quedoplasmada por James

© M.

Clerk Maxwell en su obra maestra Treatise on Electricity and Magnetismo
(1873), donde sent´ las bases del electromagnetismo cl´sico.
o
a

Este cap´
ıtulo presenta una introducci´n al c´lculo vectorial, integrales
o
a
de l´
ınea y superficie, y sistemas de coordenadas. Tras definir el concepto
de vector, se explican las operaciones algebraicas b´sicas. Acontinuaci´n se
a
o
estudian los operadores vectoriales gradiente, divergencia y rotacional. Por
ultimo, se desarrollan los teoremas de Green y Stokes.
´

0

1.1 ¿Qu´ es un vector?.
e

1.1.

1

¿Qu´ es un vector?.
e

Si deseamos tener toda la informaci´n
o
posible del viento (figura.(1.1)), no solo necesitaremos conocer su intensidad, 60 km/h
, adem´s es necesario saber su direcci´ny
a
o
sentido. No es lo mismo para un velero que
quiere llegar a puerto un viento de 60 km/h
hacia el mar que hacia la costa.
Existen muchas magnitudes f´
ısicas cuya

V
60 km/h

C

descripci´n completa exige conocer su ino
tensidad y direcci´n. Una forma de descrio
bir un viento a 60 km/h de forma sencilla es

ge

n
. Mo
A

porcional a su velocidad y que apunte en ladirecci´n del viento. A estas flechas se las
o
denomina vectores, y a las magnitudes que

© M.

miden vectoriales.

I
I

I

mediante una flecha cuya longitud sea pro-

Figura 1.1: Para conocer la velocidad del viento,v, no es suficiente con medir su intensidad o

m´dulo, V = 60 km/h, adem´s
o
a

es necesario conocer su direcci´n.
o

Existen muchas magnitudes f´
ısicas que seencuentran completamente

determinadas con el valor de su intensidad, por ejemplo la temperatura,
T = 25o C. Estas magnitudes se las denominan escalares.

Esta forma gr´fica de representar un vector, si bien es muy util para
a
´
visualizar la situaci´n f´
o ısica, dificulta la realizaci´n de c´lculos algebraicos.
o
a
La forma abreviada de representar un vector es mediante tres n´meros,
udenominados componentes del vector, que indican cu´l es la longitud entre
a
el comienzo y el final del vector en las tres direcciones del espacio.
Lo primero que debemos hacer es elegir cu´l es la derecha e izquierda,
a
cu´l es el arriba y el abajo, y d´nde est´ adelante y atr´s. Adem´s, debemos
a
o
a
a
a
poder medir la longitud de los vectores. Esto es lo que se denomina elegir
unsistema de coordenadas, el m´s simple de los cuales es el cartesiano.
a
La figura.(1.2) muestra la m´s com´n de todas las representaciones de un
a
u
sistema de coordenadas cartesiano. Se elige la derecha, u orientaci´n positiva,
o
como aquella en la que el eje Z tiene el sentido del dedo pulgar de la mano
derecha al cerrar el resto de los dedos desde el eje X positivo al eje Y positivo
c

M.A. Monge

Dpto. F´
ısica 2001-2002

Electromagnetismo

2

Visita r´pida a las Matem´ticas.
a
a
(ver figura.(1.2)).
Una vez elegido nuestro sistema de coordenadas, solo hay que medir cu´l
a
es la longitud de nuestro vector en cada una de las direcciones para obtener
las componentes del vector.
Hay tres formas tradicionales de representar un vector. La primera consiste en

Zescribir las componentes del vector entre

V(x,y,z)

par´ntesis separadas por comas, siendo la
e
si

primera la componente del vector en la di-

n
v

recci´n X, la segunda en la Y y la tercera
o

C
Y

en la Z.

V = (vx , vy , vz )

X

(1.1)

I
I

I

ge

La segunda consiste en escribir las com-

ponentes como una suma, multiplicando la

n
. Mo
A

Figura...