Álgebra Lineal

Universidad de Costa Rica Facultad de Ciencias Escuela de Matem´ tica a

´ Ejercicios de Algebra Lineal.

Christian Fonseca Mora 2012

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1. Prefacio
´ El objetivo de estas notas es ofrecer a los estudiantes del curso de Algebra Lineal un complemento al material visto en clase y que les permita apropiarse de una serie de t´ cnicas para la resolucion de e ´ ejercicios. Como en todas lasareas de la matem´ tica, la resolucion de ejercicios es la mejor manera de a ´ ´ ´ comprender tanto los resultados teoricos, como la aplicabilidad del Algebra Lineal y por lo tanto es ´ indispensable que los estudiantes traten de resolver la mayor cantidad de ejercicios. Usualmente no es posible cubrir el material del curso en el tiempo de clase y al mismo tiempo realizar la suficiente pr´ cticapara que los estudiantes identifiquen y dominen los distintos m´ todos utilizados a e en la resolucion de ejercicios, los cuales en muchos casos requieren de una aplicacion de los conceptos ´ ´ y resultados de la teor´a. En esa direccion, escrib´ estas notas con ejercicios resueltos pensando en que ı ı ´ los estudiantes pueden guiarse con las explicaciones y as´ realizar sus propias conclusionessobre como ı ´ solucionar un determinado ejercicio. La recomendacion a los estudiantes que utilicen estas notas es que primero intenten realizar el ejer´ cicio por su cuenta y que cuando definitivamente no puedan hallar la solucion, entonces recurran a las ´ notas para identificar los fallos cometidos y cu´ l ser´a el m´ todo para encontrar la solucion. Como es a ı e ´ usual en la matem´ tica, existennormalmente diversas maneras de solucionar un ejercicio, por lo que se a ofrecen en estas notas solo algunas de las posibilidades. ´ Los ejercicios fueron tomados de ex´ menes de semestres anteriores de la c´ tedra del curso MA1004 a a ´ Algebra Lineal de la Universidad de Costa Rica, especificamente entre los anos 2009 a 2011. De ninguna ˜ manera la resolucion de estos ejercicios pretende sustituirel estudio del material discutido en clase por ´ el profesor, ni tampoco garantiza que el estudiante tenga un buen desempeno en los ex´ menes. Por a ˜ tanto se recomienda al estudiante estudiar a conciencia el material del libro usado o las notas vistas en clase y complementarlo con estas notas. Cualquier error en este documento es responsabilidad del autor. Agradezco a mis estudiantes que enmuchos casos me han permitido corregir errores de escritura, aunque este documento puede no estar excento de muchos m´ s. a Christian Fonseca.

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´ Indice
1. Prefacio 2. Sistemas de Ecuaciones Lineales 3. Matrices 4. Determinantes 5. Geometr´a vectorial de Rn ı 6. Rectas y planos en Rn 7. Espacios vectoriales reales 8. Espacios con producto interno, ortogonalidad y proyecciones 9.Transformaciones lineales 10. Valores y vectores propios de operadores y matrices 11. Formas cuadr´ ticas, secciones conicas y superficies cuadr´ ticas a ´ a 2 4 13 33 45 56 78 95 109 126 137

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´ Ejercicios de Algebra lineal

Prof. Christian Fonseca

2. Sistemas de Ecuaciones Lineales
1. Considere el sistema de ecuaciones lineales (   ) x ( )   1 3p −1    y = 17     −3 p −7   9  z

   b        a) Determine para que valores de p y de b el vector  8  es solucion del sistema. ´       b+7 Respuesta: Para que el vector (b, 8, b + 7)t sea solucion del sistema, es necesario que: ´ 1 · b + 3p · 8 − (b + 7) = 17 b + 24p − b − 7 = 17 ⇔ −3 · b + p · 8 − 7 · (b + 7) = 9 −3b + 8p − 7b − 49 = 9 ⇔ 24p = 24 p = 1 ⇔ ⇔ −10b + 8p = 58 −5b + 4p = 29 p=1 y b = −5

b) Enel sistema de ecuaciones dado, sustituya p por el valor que encontro en la parte (a) y ´ determine el conjunto solucion del sistema. ´ Respuesta: Sustituyendo p = 1, se obtiene el sistema en forma de matriz aumentada dado por ( 1 3 −1 17 −3 1 −7 9 ) 3 f1 + f2 −→ ) 1 ) ( 1 3 −1 17 1 3 −1 17 f2 10 0 10 −10 60 0 1 −1 6 −→ ( ) −3 f2 + f1 1 0 2 −1 −→ 0 1 −1 6 (

Entonces tenemos el sistema: x1 +2x3...