álgebra lineal

M ONOGRAFÍAS M ATEMÁTICAS
UTFSM

ALGEBRA LINEAL

Departamento de Matemática
Universidad Técnica Federico Santa María

Rubén A. Hidalgo

ALGEBRA LINEAL

PRIMERA EDICIÓN 2006

Rubén A. Hidalgo
Departamento de Matemática, Universidad Técnica Federico Santa María,
Valparaíso, Chile.
E-mail : ruben.hidalgo@usm.cl
Url : http://docencia.mat.utfsm.cl/~rhidalgo

Primera Edición 2006.

ISBN XXXXXXX

.

Este libro fué patrocinado por los proyectos Fondecyt 1030252 y UTFSM 12.05.21 y un
sabático otorgado por la Universidad Técnica Federico Santa María durante el periodo
2006.

ALGEBRA LINEAL

PRIMERA EDICIÓN 2006
Rubén A. Hidalgo

A Betty, Cata y Pucky

INTRODUCCIÓN

Esta monografía está principalmente dirigida a los estudiantes de Licenciatura enCiencias Mención Matemática, Licenciatura en Ciencias Mención Física e Ingeniería Civil Matemática, pero puede ser también de uso para estudiantes de Ingeniería y otras especialidades. El temario escogido incluye parte de lo que creemos
debe ser una formación básica en el tema para estos estudiantes.
En esta monografía los números son elementos de cuerpos K de cualquier tipo,
excepto donde sehaga mención. Para la mayoría de los estudiantes sólo basta considerar el cuerpo de los números racionales Q ó el cuerpo de los números reales R
ó el cuerpo de los números complejos C. Para aquellos estudiantes interesados en
areas como la informática, pueden también pensar en cuerpos finitos, como por
ejemplo Z2 .
Hemos incluido varios tipos de problemas, siendo algunos de simple cálculo, otrosde aspecto más teóricos y otros de aplicaciones.
Muchos temas importantes no han podido ser incluidos en esta versión, pero esperamos poder incluirlas en una próxima. Los pre-requisitos para una lectura general y obviando algunos de los temas es MAT 023.
Una lectura recomendable para la mayoría de los estudiantes es : (i) no considerar
el capítulo 1 y cada vez que se mencione un cuerpo K,pensar en K = Q ó K = R
ó K = C, (ii) capítulos 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12.5, 12.6, 13, 16 y 17.
Mis agradecimientos a Betty, Cata y Pucky, a quienes quite tiempo de dedicación
para escribir esta monografía, por su comprensión durante ese tiempo. También
quiero agradecer al Universidad Técnica Federico Santa María por el apoyo, por
medio de un periodo sabático, que me permitió poder llevar acabo este proyecto.

Valparaíso, Chile 2006

Rubén A. Hidalgo

TABLA DE MATERIAS

Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
1. Cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1. Definición de cuerpo. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Ejemplos de cuerpos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Homomorfismos de cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Característica de un cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Problemas. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1
1
2
4
5
5

2. Algebra Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1. Matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2. Suma de matrices. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3. Amplificación de matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4. Multiplicación de matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5. Transposición de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....