ÁLGEBRA LINEAL

Universidad de Costa Rica
Escuela de Matem´tica
a

ALGEBRA LINEAL

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Carlos Arce S.
William Castillo E.
Jorge Gonz´lez V.
a

2003

Algebra Lineal
Carlos Arce S., William Castillo E., Jorge Gonz´lez
a

Tercera Edici´n 2002
o
Edici´n y Diagramaci´n: Carlos Arce.
o
o
Dise˜o de portada:
n
A
Tipograf´ ycompilador: L TEX
ıa

i

Presentaci´n
o
Los materiales de este libro han sido desarrollados para el curso
introductorio de ´lgebra lineal, dirigido a estudiantes de ingenier´
a
ıa
y otras carreras de la Universidad de Costa Rica. En ellos se
resume la experiencia de impartir el curso durante seis a˜os.
n
Nuestro prop´sito ha sido dotar a los estudiantes de un folleto
o
con los temasb´sicos de la teor´ del ´lgebra lineal que, resalte los
a
ıa
a
aspectos geom´tricos del tema, no oculte algunas demostraciones
e
fundamentales que permiten reconocer las vinculaciones entre distintos conceptos y muestre algunas de sus aplicaciones. El libro
incluye adem´s listas abundantes de ejercicios que privilegian la
a
aplicaci´n de conceptos sobre los aspectos p´ramente algor´
o
uıtmicos.
Esta nueva edici´n presenta algunos cambios respecto a la ano
terior. Todos los cap´
ıtulos fueron revisados, se mejoraron los
gr´ficos y en algunos se agregaron nuevos ejercicios. El cap´
a
ıtulo de
regresi´n lineal se reformul´ completamente, haciendo una mejor
o
o
exposici´n del tema. Por otra parte, el libro incluye ahora, una
o
nueva presentaci´n en formato PDF con hypertexto,que permite
o
ser distribuido por medios electr´nicos y que constituye un nuevo
o
recurso para que los profesores hagan sus exposiciones con ayuda
de ... o equipos similares.
Agradecemos a los colegas de la c´tedra de ´lgebra lineal sus
a
a
observaciones sobre errores en la edici´n anterior y las sugerencias
o
para mejorar el material.

ii

´
Indice General
1 Sistemas deecuaciones lineales

1

1.1

Sistemas con dos inc´gnitas . . . . . . . . . . . . .
o

1

1.2

Sistemas n × m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.1

Sustituci´n hacia atr´s . . . . . . . . . . . .
o
a

7

1.2.2

Operaciones elementales . . . . . . . . . . .

8

1.2.3

Sistemas equivalentes y reducci´n gaussiana
o

8

Soluci´n de sistemas representados comomatrices .
o

10

1.3.1

Matriz del sistema y matriz aumentada . .

10

1.3.2

Operaciones elementales sobre las filas de
una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3.3

Matriz escalonada . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3.4

Reducci´n gaussiana y matriz escalonada .
o

15

1.3.5

Reducci´n de Gauss-Jordan . . . . . . . . .
o

16

Matricesequivalentes y rango . . . . . . . . . . . .

18

1.4.1

Escritura matricial de sistemas . . . . . . .

18

1.4.2

Equivalencia de matrices . . . . . . . . . . .

20

1.4.3

Rango de una matriz . . . . . . . . . . . . .

23

1.3

1.4

iii

iv
1.5

Caracterizaci´n de los sistemas, por su soluci´n . .
o
o

24

1.5.1

Sistemas que no tienen soluci´n . . . . . . .
o24

1.5.2

Sistemas con soluci´n . . . . . . . . . . . .
o

25

1.5.3

Sistemas homog´neos
e

28

1.5.4

Sistemas con menos ecuaciones que variables 29

1.5.5

Sistemas n × n . . . . . . . . . . . . . . . .

30

1.6

Interpretaci´n del rango de una matriz . . . . . . .
o

30

1.7

Redes y sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . .

32

1.7.1

Redes deflujos . . . . . . . . . . . . . . . .

33

1.7.2

Redes el´ctricas . . . . . . . . . . . . . . . .
e

34

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

1.8

. . . . . . . . . . . .

2 Matrices

47

2.1

Algunos tipos de matrices . . . . . . . . . . . . . .

49

2.2

Operaciones con matrices y propiedades . . . . . .

54

2.3

Algunas...