álgebra lineal

Tema 4. Números Complejos
1.

Números complejos. .................................................................................................. 2
1.1.
1.2.

Conjugado y opuesto de números complejos..................................................... 3

1.3.
2.

Definición de números complejo ....................................................................... 2
Representacióngráfica de los complejos ........................................................... 4

Operaciones con complejos....................................................................................... 5
2.1.
2.2.

Producto de complejos ....................................................................................... 5

2.3.

División decomplejos........................................................................................ 5

2.4.

Potencia de números complejos ......................................................................... 5

2.5.
3.

Suma y resta de complejos................................................................................. 5

Potencias de i..................................................................................................... 6

Complejos en forma polar ......................................................................................... 7
3.1. Paso de forma polar a forma binómica. Expresión trigonométrica. ..................... 8
3.2. Operaciones en forma polar................................................................................... 8

4.

Raíces de números complejos................................................................................... 9
4.1. Representación de raíces de un número complejo............................................... 10

5.

Ecuaciones con números complejos........................................................................ 12
5.1. Representación de ecuaciones en el campo de los complejos. ............................ 14

Tema4. Complejos

1. Números complejos.
1.1. Definición de números complejo
Cuando resolvíamos las ecuaciones de segundo grado y el discrimínate era negativo
(raíz negativa) decíamos que dicha ecuación no tenía soluciones reales. ¿pero es qué
acaso puede haber otro tipo de soluciones?. En este tema veremos los números
complejos, en este conjunto de números las raíces pares de índice negativotienen
solución.
Ejemplos:
1) x2+4=0  x=
2) x2-4x+5=0 
Antes de definir el conjunto de los números complejos vamos a definir la unidad
imaginaria, i:
i=

tal que i2=-1

De esta forma las soluciones a las ecuaciones 1 y 2 son:
1) x
2) x=
Números complejos ( ) son aquellos que se pueden escribir de la forma z=a+b·i,
donde a y b son números reales e i es la unidad imaginaria. Estaforma de representar a
los se denomina forma binómica.
Partes de los complejos z=a+b·i:
-

Parte real Re(z)=a
Parte imaginaria Im(z)=b

Nota: los números reales están incluidos en los complejos, son en los que la parte
imaginaria es cero (b=0).
Los complejos que no tiene parte real se denominan imaginarios puros. Por ejemplo
z=5i, z=πi…

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Tema elaborado por José LuisLorente (lorentejl@gmail.com)

Tema 4. Complejos
Ejercicio: escribe los siguientes números complejos en función de la unidad
imaginaria:
a)
b)
Ejercicio: resuelve las siguientes ecuaciones y factoriza los polinomios con números
complejos:
a) x2-4x+13=0
x=

4 ± 16 − 52 4 ± − 36  x = 2 + 3i
=
=
2
2
 x = 2 − 3i

x2-4x+13=(x-(2+3i))·(x-(2-3i))
Comprobación:(x-(2+3i))·(x-(2-3i))=x2-(2-3i)x-(2+3i)x+(2+3i)(2-3i)=x2-4x+(22-(3i)2)=
=x2-4x+(4-9(i)2)=x2+4x-(4+9)=x2-4x+13
b) 3x2-3x+2=0

3 ± 9 − 24 3 ± − 15  x =

x=
=
=
6
6
x =



1
+
2
1
−
2

15
i
6
15
i
6


1
1
15   
15  
3x3-3x+2= 3·  x −  +
i  · x −  −
i 
2
2

6  
6 

 



Comprobación:

1
1
1
15   
15    2
15   1
15  ...