Álgebra lineal

MATRICES

Definición: Una matriz A, es un arreglo rectangular de elementos ordenados en m filas y n columnas.


donde A es el nombre de la matriz, aij es el elemento en el renglón i y la columna j.

El orden o dimensión de una matriz está dado por el número de filas y columnas, es decir una matriz de m filas y n columnas es de orden mxn

Si una matriz tiene sólo una fila se le denominamatriz fila o vector fila y si tiene una sola columna se le denomina matriz columna o vector columna.


Una matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas se denomina matriz cuadrada.



Si el número de filas no es igual al número de columnas se la llama matriz rectangular.



Diagonal principal.
En una matriz cuadrada, la diagonal principal es el conjunto de elementoaij tales que i = j.





La diagonal principal esta formada por los elementos 1, 8, -1
Matriz diagonal.
Es una matriz cuadrada en que los elementos no diagonales son todos cero.




Matriz identidad.
Es una matriz cuadrada cuyos elementos en la diagonal principal son todos iguales a 1 y los demás son cero.





Matriz nula.
Es aquella donde todos lo elementos son cero.Matriz triangular superior.
Es una matriz en que todos los elementos debajo de la diagonal principal son cero.





Matriz simétrica.
Es una matriz cuadrada en que aij = aji, para todo i,j.





Traza de una matriz.
Es la suma de los elementos de la diagonal principal








Matriz transpuesta.
En una matriz A, su transpuesta At o A’, es una matriz cuyas filas son lacolumnas de A.





Suma de matrices.
Sean A y B dos matrices del mismo tamaño. La suma de A y B, denotada por A + B, es la matriz obtenida al suma los elementos correspondientes de A y B.



Ejemplo:


Multiplicación escalar.
El producto de un escalar k y una matriz A, denotado como kA o Ak, es la matriz obtenida al multiplicar cada elemento de A por k.



Ejemplo:



Tambiéndefinimos que.
-A = (-1)A y A – B = A + (–B )
Multiplicación de matrices.
Sean A y B dos matrices tales que el número de columnas de A es igual al número de filas de B, el producto de A y B, es la matriz que se obtiene multiplicando a los elementos de la fila i de A por los correspondientes elementos de la columna j de B y luego sumando todos estos productos.



en donde

Ejemplo:Si el número de columnas de A no es igual al número de filas de B, entonces el producto AB no está definido.

Determinante de una matriz.
El determinante de una matriz A es un escalar y de denota por D o |A| o det(A) se define como



donde la suma se hace sobre todas las permutaciones de los primeros subíndices de a y (±) toma el signo más si la permutación es par y menos sila permutación es impar.

Los determinantes de orden uno, dos y tres se definen como sigue:







Ejemplos:






Nota: El determinante de una matriz triangular superior es igual a multiplicar a los elementos de la diagonal principal.



Matriz de menores.
La matriz de menores M de una matriz A se obtiene de la siguiente manera; para el elemento Mij, calcular el determinantede A omitiendo el renglón i y la columna j.









Matriz de cofactores.
El cofactor de cofij del elemento aij se define como



Para lo cual es útil cambiar sólo los signos de acuerdo a la siguiente regla



Ejemplo: Sea la matriz A, calcular la matriz de menores y cofactores.



; ;

Matriz de menores de A

Matriz de cofactores de A

Matriz singular.
Unamatriz cuyo determinante es cero se denomina matriz singular.

Inversa de una matriz.
Dada una matriz cuadrada A, se dice que la matriz B es la inversa de A si y solo si, el producto de AB es la identidad I, AB = I y B se denota como A-1.

Para calcular la inversa de una matriz se sigue la siguiente regla.
1) Calcular el determinante
2) Encontrar la matriz de menores
3) Calcular la matriz de...