Álgebra práctica 1 CBC montes de oca

Apuntes de álgebra
(Olga)
Cátedra Fauring

Estos apuntes se iniciaron durante el primer cuatrimestre de 2005, en base a las guías
docentes de la materia y a las clases de la profesora Olga Ambas. Colaboraron con la
corrección de los errores los profesores: Adriana Nuñez, Jorge Riú, Valeria Amado y
Mariano Franco. La presente es una actualización hecha en el inicio del primer
cuatrimestrede 2012, en las que se agregaron numerosas correcciones de la profesora
Susana Puddu.
Este apunte no pretende reemplazar las clases de los docentes, sino sólo facilitarles el
material a los alumnos en caso de que no puedan concurrir a las clases, y permitirles otra
lectura con algunos ejercicios adicionales.
En caso de detectar errores, se agradece comunicarlo a oambas@hotmail.com.
Al enviarel mail, poner en "asunto": APUNTE. De esta manera, será posible seguir
corrigiendo el material para futuras ediciones.

L2
L1

PRÁCTICA 1
R2
Plano y puntos del plano.
Para representar pares de números, usaremos un "sistema de coordenadas ortogonal": dos
rectas que se cortan en ángulo recto. Si R es el conjunto de números reales, pongamos
R2

x, y : x

R, y

R

cuyarepresentación geométrica es:
y

R

2

(x,y)

y
segundo cuadrante

primer cuadrante

x

tercer cuadrante

x

cuarto cuadrante

Los elementos de R 2 se llaman puntos del plano, siendo x la primera coordenada o
abscisa, e y la segunda coordenada u ordenada. El eje horizontal se llama eje x , el vertical
se llama eje y, y la intersección de ambos ejes se llama origen.
Ejemplos depuntos:
y
(2,3)

3
(-3,2)

2

1

-5
(-5,-1)

-3

1

2

3

x

-1
-2

(3,-2)

Observemos que, aunque no es obligatorio, hemos elegido la misma escala en ambos
ejes.

¿Qué distingue a cada cuadrante? El signo de las coordenadas,
1er cuadrante: x 0, y 0

2do cuadrante: x 0, y 0

3er cuadrante: x 0, y 0

4to cuadrante: x 0, y 0

siendo:

x, 0 en el eje x

Lospuntos en los ejes son de la forma:

0, y en el eje y

la intersección de ambos es el origen O

,

0, 0 .
y

(0,2)

(0,0)

(1,0)

(-4,0)

x

(0,-3)

Operaciones entre puntos. Ecuación paramétrica de una recta.
Suma
Los puntos del plano se pueden sumar:
x, y

x´, y´

x

x´, y

y´

Regla del paralelogramo
y
Construyendo un paralelogramo
a partir del origen y lospuntos que
sumamos como indica la figura,
y+y

la diagonal de este paralelogramo

y

une el origen con el punto suma.
(x,y)+(x´,y´)=(x+x´,y+y´)

y

x

x

x+x

x

Ejemplos
3, 5
4, 7
1. 1, 2
2. 1, 2
3, 5
2, 3
3.
1, 2
3, 5
4, 7
4. 1, 2
1, 5
0, 7
5. 1, 2
1, 2
0, 0 .
Como ejercicio, se recomiendo hacer los dibujos correspondientes de 1 y 5.
Producto porescalares
También se pueden multiplicar por escalares -esto es, por un número real:
x, y

x, y

Ejemplo
Multipliquemos al punto 2, 1 por distintos escalares:
4, 2
2 2, 1
3 2, 1
6, 3
1 2, 1
2, 1 .
Grafiquemos los puntos obtenidos:
y

3(2,1)

2(2,1)

(2,1)

x
(-1)(2,1)

Vemos que todos estos puntos están alineados.
En general: x 0 , y 0 es una recta que pasa por el origen y elpunto del plano x 0 , y 0 .
y

3(2,1)

2(2,1)

(2,1)

x
(-1)(2,1)

El vector x 0 , y 0 se llama opuesto al vector x, y . Además, pondremos x, y en
lugar de 1 x, y .
Con X notaremos puntos de R 2 , esto es, X
x, y .
Consideremos ahora la recta L 0 : 2, 1 y a cada punto de la misma sumémosle el punto
0, 3 . Como cada punto de la recta es de la forma 2, 1 , al sumar 0, 3 obtenemos
0,3 . Gráficamente:
obviamente el punto 2, 1

L
y
(2,4)

(0,3)

L0

(-2,2)

3(2,1)

2(2,1)

(2,1)

x

(0,0)

Los puntos de la recta L
se obtienen sumándole

(-1)(2,1)

a cada pundo de la recta

L

0

el punto (0,3), que
llamaremos punto de paso.

Por ejemplo: (2,4)=(2,1)+(0,3)

Si le sumamos a cada uno de los puntos de una recta L 0 que pasa por el origen un...