Álgebra sobre un cuerpo

Definiciones[editar]
Para ser exactos, sea (V_\mathbb{K},+) un espacio vectorial sobre el cuerpo \mathbb{K}, y supongamos que existe una operación binaria definida entre vectores:

(\cdot,\cdot):V_\mathbb{K}\times V_\mathbb{K} \to V_\mathbb{K}

Tal que es bilineal y distributiva respecto a la suma, es decir, tal que para todo u,v,w \in V, \lambda \in \mathbb{K}:

u\cdot(v+w) = u\cdot v +u\cdot w
(v+w)\cdot u = v\cdot u + w\cdot u
u\cdot(\lambda v) = (\lambda u)\cdot v = \lambda (u\cdot v)
Entonces con esta operación, V_\mathbb{K} se convierte en un álgebra sobre \mathbb{K} y \mathbb{K} es el cuerpo base del álgebra \mathcal{A}=(V_\mathbb{K},+,\cdot). La segunda operación se llama "multiplicación". Sin embargo, la operación en varias clases especiales de álgebra toma diversosnombres:

Las álgebras también se pueden definir más generalmente sobre cualquier anillo unitario R: necesitamos un módulo \mathcal{A} sobre A y una operación bilineal de multiplicación que satisfaga las mismas identidades que arriba; entonces \mathcal{A} es una R-álgebra, y R es el anillo bajo \mathcal{A}. Dos álgebras \mathcal{A} y \mathcal{B} sobre \mathbb{K} son isomorfas si existe una Kbiyección - función lineal f: \mathcal{A} \to \mathcal{B} tal que f (xy) = f(x)f(y) para todo x, y en \mathcal{A}. Para todos los propósitos prácticos, las álgebras isomorfas son idénticas; solamente se diferencian en la notación de sus elementos.

Características[editar]
Para las álgebras sobre un cuerpo, la multiplicación bilineal de \mathcal{A} \times \mathcal{A} a \mathcal{A} es determinadatotalmente por la multiplicación de los elementos de la base de A. Inversamente, una vez que ha sido elegida una base para \mathcal{A}, los productos de los elementos de base se pueden fijar arbitrariamente, y entonces extender de una manera única a un operador bilineal en \mathcal{A}, es decir de modo que la multiplicación que resulta satisfaga las leyes del álgebra.

Así, dado el cuerpo K,cualquier álgebra se puede especificar salvo un isomorfismo dando su dimensión (digamos n), y especificar los n3 coeficientes de estructura ci,j,k, que son escalares. Estos coeficientes de estructura determinan la multiplicación en \mathcal{A} vía la regla siguiente:

\mathbf{e}_{i} \mathbf{e}_{j} = \sum_{k=1}^n c_{i,j,k} \mathbf{e}_{k}

Donde e1,...en una base de A. El único requisito en loscoeficientes de la estructura es que, si la dimensión n es un número infinito, entonces esta suma debe converger (en cualquier sentido que sea apropiado para la situación). Observe, sin embargo, que diversos conjuntos de coeficientes de estructura pueden dar lugar a álgebras isomorfas.

En física matemática, los coeficientes de estructura se escriben a menudo ci,jk, y se escribe usando el convenio desumación de Einstein como

ei ej = c i,jk ek.
Si se aplica esto a vectores escritos en notación de índice, entonces se convierte en

(xy)k = c i,j k xi yj.
Si K es solamente un anillo conmutativo y no un cuerpo, entonces lo mismo funciona si \mathcal{A} es un módulo libre sobre K. Si no es, entonces la multiplicación todavía está determinada totalmente por su acción en un conjunto generadorde \mathcal{A}; sin embargo, las constantes de estructura no se pueden especificar arbitrariamente en este caso, y saber solamente las constantes de estructura no específica el álgebra módulo isomorfismo.

Clases de álgebra y ejemplos[editar]
Un álgebra conmutativa es una en que la multiplicación es conmutativa; un álgebra asociativa es una en que la multiplicación es asociativa. Éstas incluyenlas clases más familiares de álgebra.

Álgebras asociativas[editar]
Entre los ejemplos de álgebra asociativa podemos destacar:

el álgebra de todas las matrices n-por-n sobre el cuerpo (o anillo conmutativo) K. Aquí la multiplicación es multiplicación ordinaria de matrices.
las álgebra grupo, donde un grupo sirve de base del espacio vectorial y la multiplicación del álgebra amplía la...