Álgebra

Tema I: Factorización
En álgebra se puede ver como una generalización de aritmética, en particular los polinomios, tienen un comportamiento muy similar al de los números enteros: se puede sumar, restar, multiplicar o dividir.
Para factorizar debemos recordar las operaciones entre polinomios, una de las más notables es la multiplicación. Por ejemplo: 2x(x+3)=2x2+6x
Si nos preguntamos ¿Cuálespolinomios multiplicamos dan como resultado 15x4-12x2? En realidad estamos buscando una factorización de ese polinomio.
Concepto
Factorizar es “expresar el polinomio como el producto indicado, es decir, realizar dos o más polinomios de menor grado que el polinomio original” (Gómez, 2007).
Existen varios temas para factorizar un polinomio lo más importantes los repasaremos a continuación:
1)Factor común: está compuesto por el máximo común divisor (MCD) de los coeficientes numéricos de los términos del polinomio. Los factores literales que están repetidos en todos los términos elevados al menor exponente con que aparece el polinomio.
Para factorizar:
* Se identifican los factores repetidos para encontrar el factor común.
* Se divide cada uno de los términos del polinomioentre el factor común.
* Se escribe dentro del paréntesis los términos que se obtienen en el paso anterior.
Ejemplo: 75 x3yz – 60 x2y2z2 + 90 x2y3
75 60 90 3 (3 x 5)
25 20 30 5
5 4 6 15
Factor común: el factor literal es x2y; el coeficiente numérico es 15. 15 x2y
75 x3yz – 60 x2y2z2 + 90 x2y3 =
15 x2y 15x2y 15 x2y
15 xz – 4yz2 + 90 y2 =
Respuesta: 15 x2y (15xz – 4 yz2 + 90 y2)

2) Trinomios cuadráticos perfectos:
Concepto: “Son el resultado de expandir la primera y la segunda fórmula notable”.
Recordemos:
La fórmula de la primera y la segunda fórmula notable:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Factorice con los siguientes pasos:
* Debe sacar las raíces cuadradas del primer y eltercer término.
* Se verifica que cumplan la condición del segundo término.
* Se identifica si es la primera o la segunda fórmula notable.
Ejemplo 1:
16x2 + 8x + 1
√16x2 √1
4x 1
Respuesta: (4x+1)2 ó (4x+1) (4x+1)
Ejemplo 2:
X2 - 10x + 25
√x2 √25
X 5
Respuesta: (x-5)2 ó (x-5) (x-5)
3) Factorización por diferencia decuadrados
Concepto: “son el resultado de expandir la tercera fórmula notable.
Recordemos:
La fórmula de tercera fórmula notable:
(a + b) (a - b) = a2 - b2

Características:
* Tiene dos términos y estos no tienen ningún facto común.
* Ambos son cuadrados perfectos.
* Los términos son de diferente signo.
Ejemplo:
4x2 – 1
√4x2 √1
2x 1
Respuesta (2x + 1)2 ó(2x + 1) (2x + 1)
4) Trinomios cuadráticos imperfectos
Factorizar los trinomios de la forma ax2 + bx + c donde a, b, c ∈ Z -{0}
∆ = B2 – 4.A.C

“Se debe calcular el discriminante para saber si el polinomio se puede factorizar o no, y cuál es el método más eficiente”.
Fórmula del discriminante

∆ > el polinomio se puede factorización por medio de inspección
∆ < el polinomio no sepuede factorizar con coeficientes reales
∆ = el polinomio se puede factorizar por medio de la primera o segunda fórmula notable
Ejemplo

a) x2 + 5x + 6
a =1 b= 5 c= 6
∆= 52-4.(1).(6)
∆=1 entonces ∆ > 1

Lo realizamos por medio del método de inspección.
x2 + 5x + 6
x 2
x 3
Respuesta: (x+2)(x+3)

5)
6) Factorización por suma o diferencia de cubos
Los binomios que sepueden factorizar mediante suma o diferencia de cubos son tales que cada uno de sus términos tiene raíz cúbica exacta.
Recordemos:
La fórmula de suma y diferencia de cubos:
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) Suma de cubos
a3 - b3 = (a - b) (a + ab + b2) Diferencia de cubos

Ejemplo 1
Factorice: 125x3 + 27y6
Suma de cubos
∛125x3 + ∛27y6

5x 3y2
Respuesta: (5x + 3y2) (25x2 – 15xy2 +...