Ángulos Verticales

Ángulos Verticales

Los ángulos verticales son ángulos agudos contenidos en un plano vertical y están formados por dos líneas imaginarias llamadas horizontal y visual. Dependiendo de la Horizontal, si es un ángulo de elevación es desde la horizontal para arriba, pero si es un ángulo de depresión es de la misma horizontal para abajo.
Los ángulos verticales siempre son congruentes; pordefinición son opuestos a su vértice, no adyacentes y formados por líneas rectas intersecando en ese vértice.
La Trigonometría, para trabajar con objetos que se encuentran por sobre y por debajo de ángulo de visión u horizonte, utiliza ángulos verticales, aquellos ángulos que se forman en el plano entre la línea horizontal y alguna línea visual.

Hay dos tipos de ángulos verticales:
• Ángulos deelevación: es el formado por la horizontal y la línea visual formada cuando un objeto se encuentra por encima de la línea horizontal. 
• Ángulos de depresión: es el formado por la horizontal y la línea visual formada cuando un objeto se encuentra por debajo de la línea horizontal.
























1. A 20m de una torre se observa su parte mas alta con unangulo de elevacion(alfa) y si no alejamos 10m el angulo de elevacion es el complemeto de (alfa). Calcular tg de alfa


sea h la altura de la torre
tanalfa=h/20 ....(I)
tan(90-alfa)=h/20+10 , ctgalfa=h/30 ...(II)
de (I) , (II)
multiplicamos y quedara:
tanalfaxctgalfa = h/20 xh/30
1=h*2/600 , h=10V6 
este valor reemplazamos para hallar tangente, seria:
tanalfa=10V6/20
tanalfa=V6/2................rpta



2. Una persona de estatura 1,80m observa la parte superior de un poste con un angulo de elevacion "teta". Si la distancia se reduce a la tercera parte la elevacion angular se duplica .
Hallar Csc de "teta". Determinar la altura


sea h la altura del edificio y 3a la distancia desde donde estuvo parado la persona, entonces:
tanteta=h-1.8 / 3a
tan2teta= h-1.8 / a
perojugando con los angulos:
cos2teta=a/2a 
cos2teta =1/2 luego. 2teta=60° por lo tanto teta=30°
piden.
cscteta=csc30° = 2 .................rpta




3. Desde la parte superior de un edificio se observa un punto en el suelo con una depresión angular "teta" Determinar la altura sabiendo que la linea visual mide "a"


sea h la altura, se forma un triangulo rectángulo de lados:
hipotenusa: acateto opuesto: h
aplicamos, la funcion seno del angulo, seria.
sen teta=h/a
h=asen"teta" .....................rpta


4. Desde un punto ubicado a 15m. de un poste se ve su parte mas alta de una torre con un angulo de elevacion de 53°. Caminamos 3m. en direccion al poste y el angulo de elevacion para su parte mas alta es "Ø". Calcular "cotØ"

calculamos la altura del poste, dato que nosservirá para calcular el ángulo de elevación posterior.
designemos b = como la altura del poste y como estamos a 15 metros de la base de la torre la podemos calcular utilizando la tangente del ángulo.

tan 53˚ = b/15 m entonces despejamos b = 15m * tan 53˚ =
----> b = 15m * 1.3270 ----> b = 19.90 m 
luego como nos acercamos 3 metros quedamos a una distancia de 12 metros del poste y comocalculamos la altura ya podemos calcular el nuevo ángulo de elevación utilizando la tangente.

tan ß = 19.90 m / 12 m -----> decimos entonces que ß= tanˉ (1.6583)
ß = 59˚
quiere decir que la COT59˚ = 1/tan 59˚ ---> COT59˚ = 1/1.6583 ------>
COT 59˚ = 0.6032



5. Una persona de 2m. de estatura observa la parte mas alta de una torre con un angulo de elevacion de 30° .¿A que distancia seencuentra la base de la torre, si esta mide 82m.?


volvemos a aplicar la tangente del ángulo para encontrar la distancia de la persona a la base de la torre.Donde "a" es la distancia

tan 30˚ = 82m/a ---> a = 82m/tan 30˚ ----> a = 82m/0.5773 ----->
a= 142 metros






6 .Una persona colocada a 36m. de una torre observa su parte mas alta con un angulo de elevacion...