“Ecuación de la parábola con vértice fuera del origen y eje paralelo a los ejes coordenados”

Teoría
“Ecuación de la parábola con vértice fuera del origen y eje paralelo a los ejes coordenados”.
Cuando el vértice se localiza en cualquier punto, al que por convención se le
Asignan las coordenadas (h,k), y éste es distinto al origen, la ecuación que
Describe a la parábola cambia en función de la posición de este punto y
Además de la orientación de la curva respecto de los ejescoordenados.
Otra forma de obtener la ecuación
De la parábola horizontal con vértice
Fuera del origen es aplicando los
Significados de los segmentos B M y A M
Vistos con anterioridad y que aplicados a
La Figura 8, tenemos:
(C M) 2 = 2 p B M
Solamente que en la Figura 8 se
Tiene:
B M = A M - A B = x - h
C M = D M - D C = y - k
Así quela ecuación es:
(y - k) 2 = 2 p (x - h)................................................................................................. (III)
Es decir que, hemos obtenido la misma ecuación ordinaria (III) de la parábola horizontal
Con vértice en V (h, k).
Método.
De acuerdo a la Figura 9 y el significado de los segmentos BM y AM ya vistos y aplicados.
En este caso tenemos que la expresión x2= 2py, se puede escribir de la siguiente manera:
CM = 2p BM 2............................................................................................................... (1)
Pero:
BM AM AB y k
CM DM - CD x - h
= − = −
= =
Sustituyendo en (1):
(X − h)2 = 2p (y − k)................................................................................................... (IV)
Como se ve hemosobtenido la misma ecuación (IV).
En estos dos últimos casos sigue siendo verdad que del signo del parámetro p, depende
Hacía donde está dirigida la concavidad de la curva.
Así mismo en los cuatro casos tratados, la ecuación representativa de la parábola
Solamente contiene una de las variables a la segunda potencia, pues la otra aparece a la primera.

CONCEPTO
A diferencia delas Parábolas con Vértice en el Origen las cuales solo pueden abrirse hacia cuatro lados (por lo menos las más simples), desde el punto de origen de cualquier sistema coordenado cartesiano, el resto de parábolas pueden estar colocadas en cualquier lugar del mismo, pero igual que las otras se abren hacia cuatro lados (arriba, abajo, derecha e izquierda), a estas últimas se les designa con el nombrede Parábolas con Vértice Fuera del Origen.

DEFINICIÓN
Vértice fuera del origen
En el caso en que el vértice de una parábola no esté en el
Origen, se recurre a una traslación de ejes (ver figura 1), en la cual los ejes x, y se desplazan a posiciones indicadas por x´ , y´ y quedan paralelos a sus posiciones originales.

Figura 1
Todo punto en el plano, tiene ahora dos representacionespor
Pares ordenados: P(x,y) en el sistema xy, y P´(x´,y´) . Si el origen
del nuevo sistema x´y´ tiene coordenadas (h,k) en el plano xy, como se ve en la figura 1, entonces:
.. x = x´ + h
.. y = y´+ k o de forma equivalente:
.. x´ = x - h
.. y´ = y - k
Si consideramos la ecuación (´) 4 ´ 2 x = py que es la ecuación de
Una parábola con vértice en 0´ del plano x´y´ así aplicando a estaEcuación las fórmulas de translación de ejes, se ve que:
( ) 4 ( ) 2 x - h = p y - k
De igual manera, si se empieza con (´) 4 ´ 2 y = px y se vuelven a
Usar las fórmulas de translación de ejes tenemos
( ) 4 ( ) 2 y - h = p x – k
La parábola. Ecuación de una parábola de vértice (h, k) y eje paralelo a un eje coordenado. Y Y (h, k) O X O X (h, k) (y – k)2 = 4p(x – h) (x – h)2 = 4p(y – k)
Ecuación dela parábola de vértice (h, k) y eje paralelo al eje x.
Ecuación de la parábola con vértice (h, k) y eje paralelo al eje y.
Hallar la ecuación de la parábola con los puntos (-4, 3) como vértice y (-1. 3) como foco.
Obtención de parábolas, por medio de una ecuación.
Una ecuación de segundo grado, en las variables x y y que carezca del término xy, puede escribirse en la forma:
1. Ax2 + Cy2 +...