------------

Área de f unc iones
Caso 1:

Á rea en tre u n a fu n ció n po sitiva y el eje de abscisas

S i  la   f u n c ió n   e s   p o s itiv a   e n   u n   in te r v a lo   [a ,  b ]  e n to n c e s   la   g r á f ic a   d e   la   f u n c ió n   e s tá   p o r   e n c im a   d e l  e j e   d e   a b s c is a s .  E l   á
l a  f u n ci ó n   v ie n e   d a d a   p o r :

P a r a   h a lla r   el  á r e a   s e g u ir e m o s   lo s   s ig u ie n te s   p a s o s :

1º

  S e   c a lc u la n   lo s   p u n to s   d e  co rte   c o n   c o n   e l  e j e   O X ,  h a c ie n d o   f (x )  =  0  y   r e s o lv ie n d o   la   e c u a c ió n .

2º

  E l  área   e s   ig u a l  a   la   i n teg ral   d ef i n i d a  d e  l a  f u n ci ó n   q u e   tie n e   c o m o   lím ite s   d e  in te g r a c ió n   lo s   p u n to s   d e   c o r te .

1 . 

C a lc u la r   e l  á r e a   d e l  r e c in to   lim ita d o   p o r   la   c u r v a   y   =  9  −  x 2   y   e l  e j e   O X .

E n   p r im e r   lu g a r   h a lla m o s   lo s   p u n to s   d e   c o r te   c o n   e l  e j e   O X   p a r a   r e p r e s e n ta r   la   c u r v a   y   c o n o c e r
lo s   límite s   d e   in te g r a c ió n .

C o m o   la   p a r á b o la   e s   s im é tr ic a   r e s p e c to   a l  e j e   O Y ,  e l  á r e a   s e r á   ig u a l  a l  d o b le   d e l  á r e a
c o m p r e n d id a   e n tr e   x   =  0  y   x   =  3.

2 . 

C a lc u la r   e l  á r e a   lim ita d a   p o r   la   c u r v a   x y   =  36,  e l  e j e   O X   y   la s   r e c ta s :  x   = 6,  x   =  12.

·

E jem p l o s  

3 . 

C a lc u la r   e l  á r e a   d e l  tr iá n g u lo   d e   v é r tic e s   A (3,  0),  B (6,  3),  C (8,  0).
E c u a c ió n   d e   la   r e c ta   q u e   p a s a   p o r   A B :

E c u a c ió n   d e   la   r e c ta   q u e   p a s a   p o r   B C :

Caso 2:

Á rea en tre u n a fu n ció n n egativa y el eje de abscisas

S i  la   f un c ió n   e s   n e g a tiv a   e n   u n   in te r v a lo   [a ,  b ]  e n to n c e s   la   g r á f ic a   d e   la   f u n c ió n   e s tá   p o r   d e b a j o   d e l  e j e   d e   a b s c is a s .  E l  á
l a  f u n ci ó n   v ie n e   d a d a   p o r :

1 . 

C a lc u la r   e l  á r e a   d e l  r e c in to   lim ita d o   p o r   la   c u r v a   y   =  x 2   −  4x   y   e l  e j eOX.

E jem p l o s  

2 . 
3π/2.

Ha lla r   e l  á r e a   lim ita d a   p o r   la   c u r v a   y   =  c o s   x   y   e l  e j e   O x   e n tr e   π/2  y

C a so 3 : La fu n ció n to ma va lo r e s p o sitivo s y n e g a tivo s

E n   e s e   c a s o   e l  e l  r e c in to   tie n e   z o n a s   p o r   e n c im a   y   p o r   d e b a j o   d e l  e j e   d e   a b s c is as .  P a r a   c a lc u la r   e l  área  d e  l a  f
s e g u ir e m o s   lo s   s ig u ie n te s   p a s o s :

1º

  S e   c a lc u la n   lo s   p u n to s   d e   c o r te   c o n   c o n   e l  e j e   O X ,  h a c ie n d o   f (x )  =  0  y   r e s o lv ie n d o   la   e c u a c ió n .

2º

  S e   o r d e n a n   d e   m e n o r   a   m a y o r   la s   r a íc e s ,  q u e   s er á n   lo s   lím ite s   d e   in te g r a c ió n .

3º

  E l  área   e s   ig u a l  a   la   s u m a  d e  l as   i n teg ral es   d ef i n i d as   e n   v a lo r   a b s o lu to   d e   c a d a   in te r v a lo .

1 . 

Ha lla r   e l  á r e a   lim ita d a   p o r   la   r e c ta  

,  e l  e j e   d e   a b s c is a s   y   la s   o r d e n a d a s

c o r r e s p o n d ie nte s   a   x   =  0  y   x   =  4.

2 . 

C a lc u la r   e l  á r e a   d e   la   r e g ió n   d e l  p la n o   lim ita d a   p o r   e l  c ír c u lo   x 2   +  y 2   =  9.

E jem p l o s  

E l  á r e a   d e l  c ír c u lo   e s   c u a tr o   v e c e s   e l  á r e a   e n c e r r a d a   e n   e l  p r im e r   c u a d r a n te   y   lo s   e j e s   d e
coorde na da s.

Ha lla...