00 Sistemas Acoplados

1.

1.

Sistemas Acoplados

SISTEMAS ACOPLADOS .....................................................................................1
1.1. SISTEMA ACOPLADO .................................................................................................2
1.2. MATRIZ DE GANANCIA RELATIVA ............................................................................6
1.3. DESACOPLAMIENTO................................................................................................10
1.4. VERSIÓN GOODWIN .................................................................................................12
1.4.1. Matriz de Ganancia Relativa ..........................................................................15
1.4.2. Acoplamiento como Perturbación..................................................................17
1.4.3. Control en Adelanto + Control Descentralizado. ..........................................20
1.5. BIBLIOGRAFÍA .........................................................................................................25

00 Sistemas Acoplados.doc 1

1.1. Sistema Acoplado
yd 1 ( s )

Gc1 ( s )

m1 ( s )

H11 ( s )

y1 ( s )

H 21 ( s )

yd 2 ( s )

Gc 2 ( s )

m2 (s )

H12 ( s )

y2 ( s )
H 22 ( s )

y1 ( s ) = H11 ( s ) m1 ( s ) + H12 ( s ) m2 ( s )
y2 ( s ) = H 21 ( s ) m1 ( s ) + H 22 ( s ) m2 ( s )

m1 ( s ) = Gc1 ( s )  yd 1 ( s ) − y1 ( s ) 
m2 ( s ) = Gc 2 ( s )  yd 2 ( s ) − y2 ( s ) 
00 Sistemas Acoplados.doc 2

Asumiendo un lazo abierto
yd 1 ( s )

Gc1 ( s )

m1 ( s )

H11 ( s )

y1 ( s )

H 21 ( s )

m2 ( s ) = 0

H12 ( s )

y2 ( s )
H22 ( s )

y1 =

H11Gc1
yd 1
1 + H11Gc1

H 21Gc1
y2 =
yd 1
1 + H11Gc1

[1.1]

00 Sistemas Acoplados.doc 3

Los dos lazos cerrados,

y1 (1 + H11Gc1 ) = H11Gc1 yd 1 + H12Gc 2 yd 2 − H12Gc 2 y2
y2 (1 + H 22Gc 2 ) = H 21Gc1 yd 1 − H 21Gc1 y1 + H 22Gc 2 yd 2

y1 = P11 yd 1 + P12 yd 2
y2 = P21 yd 1 + P22 yd 2

[1.2]

[1.3]

donde

P11 =

H11Gc1 + Gc1Gc 2 ( H11 H 22 − H12 H 21 )

P12 =

Q
P21 =

H 21Gc1Q

P11 =

H12Gc 2
Q

H 22Gc 2 + Gc1Gc 2 ( H11 H 22 − H12 H 21 )

[1.4]

Q

Q = (1 + H11Gc1 )(1 + H 22Gc 2 ) − H12 H 21Gc1Gc 2

00 Sistemas Acoplados.doc 4

Ejemplo de Matlab

00 Sistemas Acoplados.doc 5

1.2. Matriz de Ganancia Relativa

m1 ( s )

H11 ( s )

m1 ( s )

y1 ( s )

H 21 ( s )

m2 ( t ) = cte

H11 ( s )

y1 ( s )

H 21 ( s )

yd 2 ( s )

H12 ( s )

Gc 2 ( s )

y2 ( s )

m2 ( s )

H 22( s )

Ensayo 1: Escalón en m1 y m2 ( t ) = cte

H12 ( s )

y2 ( s )
H 22 ( s )

Se calcula la ganancia estática:

Ensayo 2: Escalón en m1 con y y2 ( t ) = cte

Se calcula

∆y1
∆m1
∆y1′
∆m1

m2

y2

00 Sistemas Acoplados.doc 6

Ganancia relativa: λ11 =

∆y1 ∆m1 m
∆y1′ ∆m1

2

y2

Propiedades:
1: λ11 = 0 : m1 no tiene efecto sobre y1 . No se puede usar m1 para controlar y1
2: λ11 = 1: m1 no tieneefecto sobre y2 . No hay interacción.
3: 0 < λ11 < 1: Hay interacción. A menor λ11 , mayor interacción.
4: λ11 < 0 : Hay interacción, pero inversa. Muy peligroso.

00 Sistemas Acoplados.doc 7

Matriz de Ganancia Relativa:

λ12 
λ
Λ =  11

λ
λ
22 
 21
λ11 =

∆y1 ∆m1 m
∆y1′ ∆m1

2

y2

λ12 =

∆y1 ∆m2 m
∆y1′ ∆m2

1

y2

λ21 =

∆y2 ∆m1 m
∆y2′ ∆m1

2

λ22 =

y1

∆y2 ∆m2 m
∆y2′ ∆m2

1

y1Propiedades:
1: λ11 + λ12 = λ21 + λ22 = λ11 + λ21 = λ12 + λ22 = 1
2: Solo se necesita conocer una de las cuatro.

1 0 
. No hay acoplamiento y se controla m1 → y1
3: Λ = 

0 1 

m2 → y2

0 1 
. No hay acoplamiento y se controla m1 → y2
4: Λ = 

1 0 

m2 → y1

 0,5 0,5
. Hay acoplamiento pero es indistinto controla con una u otra
5: Λ = 

 0,5 0,5
00 Sistemas Acoplados.doc 8

 0, 250,75
. Recomendable controlar m1 → y2
6: Λ = 

 0,75 0, 25

m2 → y1

7: Caso λ11 > 1.
7.1 Si se controla m1 → y1

m2 → y2 , implica ∆y1 ∆m1 m > ∆y1′ ∆m1 y . Disminu2

2

ye el efecto de m1 sobre y1 , cuando se cierra el otro lazo. Hay que aumentar la ganancia. Problemas de control.
7.2 Si se controla m1 → y2

m2 → y1 , implica λ12 , λ21 < 0 . Acción de control in-

versa.
- La Matriz de...