003_Límite y Continuidad

Límite y Continuidad de
las Funciones

Límite de las Funciones


¿Que es el Límite de las Funciones?

El concepto de Límite en Matemática tiene el sentido de “lugar” hacia el que se dirige
una función en un punto determinado.

Veamos un ejemplo: Considerando la función dada por la gráfica de la figura y
fijémonos en el punto x=2 situado en el eje de abscisas:

Límite de las Funciones


¿Quees el Límite de las Funciones?

¿Qué ocurre cuando nos acercamos al punto 2 moviéndonos sobre el eje x?
Si nos movemos por un lado tomando valores como 2,1; 2,01 y 2,001. Vemos en la
figura que las imágenes de dicho punto sobre la curva f(2,1); f(2,01) y f(2,001) se
acercan a un valor situado en el eje y, el valor es y=3.

Límite de las Funciones


¿Que es el Límite de las Funciones?

¿Qué ocurrecuando nos acercamos al punto 2 moviéndonos sobre el eje x?
Si nos acercamos a x=2 por el otro lado tomando valores como 1,9; 1,99 y 1,999. Vemos
en este caso las imágenes f(1,9); f(1,99) y f(1,999) se acercan también al valor y=3.

Límite de las Funciones


Límite de las Funciones

Límite de las Funciones
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Límite de las Funciones


Propiedades: para que una función f(x) tenga límite enx=a, es condición necesaria y
suficiente que ambos límites laterales existan y sean iguales, es decir:

Límite de las Funciones

Límite de las Funciones


Tipo de Límites



Límites infinitos en un punto finito: En la situación del dibujo, se dice que el
límite cuando x se acerca por la derecha de a es +∞, pues a medida que la x
se acerca a “a”, la función se hace cada vez mayor:

Ejemplo:Límite de las Funciones


Tipo de Límites



Límites finitos en el infinito: Se dice que una función tiene límite b

cuando x tiende a +∞, cuando la función se acerca a b cuando el valor de

“x” se hace cada vez mayor, es decir:

Gráficamente:

Límite de las Funciones


Tipo de Límites



Límites infinitos en el infinito: Aparece este caso cuando si x tiende a +∞ la
función se hace cada vezmayor o menor (lo mismo si x tiende a −∞).

Un ejemplo de este tipo de límites sería:

Intentar Graficarlo…

Límite de las Funciones


Cálculo de Límites.

Recordaremos, dada su importancia, algunas de las reglas para el cálculo de
límites cuando se presentan diferentes indeterminaciones

Límites de polinomios:

pues en el primer caso el coeficiente de x5 es positivo, y en el segundo caso elcoeficiente de x7 es negativo.

Límite de las Funciones


Cálculo de Límites.

Recordaremos, dada su importancia, algunas de las reglas para el cálculo de
límites cuando se presentan diferentes indeterminaciones

Indeterminación ∞/∞:

porque el grado del numerador es mayor, pero los respectivos coeficientes de
mayor grado tienen signo diferente.

Límite de las Funciones


Calculo de Limites.Recordaremos, dada su importancia, algunas de las reglas para el cálculo de
límites cuando se presentan diferentes indeterminaciones

Indeterminación ∞ - ∞:

En este caso, el proceso es multiplicar y dividir por el conjugado de la expresión
radical:

Límite de las Funciones


Cálculo de Límites.

Indeterminación k/0 , (k ≠ 0 ): En este caso el límite el siempre
determinar su signo, se calculan loslímites laterales.

∞, pero para

Límite de las Funciones


Cálculo de Límites.

Indeterminación 0/0: En este caso tanto numerador como denominador se
hacen 0. Si tanto en el numerador como en el denominador tenemos
polinomios, la forma de resolver la indeterminación es descomponer los
polinomios en factores (mediante, por ejemplo, la regla de Ruffini) y simplificar
para posteriormente volver asustituir.

Límite de las Funciones
Asíntotas.
Una primera aplicación del cálculo de límites consiste en el cálculo de las
asíntotas de una función. Hay tres tipos de asíntotas: Verticales, Horizontales y
Oblicuas.
 Asíntotas verticales. Una asíntota vertical de una función f(x) es una recta
vertical x = k tal que se cumple:


Para determinar si un punto constituye una asíntota vertical de la...