01 holomorfia

CAP´ITULO 1

Funciones holomorfas
1.1

´
INTRODUCCION

La definici´on y primeras propiedades de la derivaci´on de funciones complejas son
muy similares a las correspondientes para las funciones reales (exceptuando, como
siempre, las ligadas directamente a la relaci´on de orden en R, como por ejemplo
el teorema del valor medio). Sin embargo, iremos comprobando poco a poco que
la derivabilidadcompleja es una condici´on mucho m´as fuerte que la derivabilidad
real, o incluso que la diferenciabilidad de las funciones de dos variables reales. La
explicaci´on final la encontraremos en resultados posteriores.
Para las primeras secciones de este cap´ıtulo puede usarse como libro de consulta el texto de Open University: Complex Numbers / Continuous Functions /
Differentiation. The Open UniversityPress, Milton Keynes (1974); para las finales,
ver Duncan, J.: The elements of complex analysis. Wiley, London (1968).
1.2

DERIVABILIDAD DE LAS FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA

1. Definici´on y primeras propiedades.
Como C es un cuerpo y tiene sentido la divisi´on, podemos imitar literalmente
la definici´on de derivabilidad de funciones reales.
Definici´on. Sea abierto de C. Sea f :
es derivableen z 0 si existe
lim

z→z 0

−→ C y sea z 0 ∈

. Diremos que f

f (z) − f (z 0 )
= f (z 0 ) ∈ C.
z − z0

Al valor de dicho l´ımite f (z 0 ) lo llamaremos derivada de f en z 0 .
Observaci´on. Aunque, formalmente, la definici´on es como en R, la existencia
de l´ımite es aqu´ı m´as exigente, al tener que existir de cualquier modo que nos
acerquemos a z 0 por el plano. Esto har´a que las funcionesderivables en C sean
mejores que las derivables en R, y que podamos desarrollar una teor´ıa mucho m´as
redonda para e´ stas.
Para empezar, listamos las propiedades de derivabilidad que se demuestran
imitando punto por punto lo que se hace en R.
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Funciones holomorfas

1. f derivable en z 0 ⇒ f continua en z 0 .
2. Si f y g son derivables en z 0 ,
i) f + g es derivable en z 0 y ( f + g) (z 0 ) =f (z 0 ) + g (z 0 ).
ii) f · g es derivable en z 0 y ( f · g) (z 0 ) = f (z 0 )g(z 0 ) + g (z 0 ) f (z 0 ).
iii) (Si f (z 0 ) = 0), 1/ f es derivable en z 0 y (1/ f ) (z 0 ) = − f (z 0 )/ f (z 0 )2 .
3. Regla de la cadena. Sean f : 1 −→ C, g : 2 −→ C con f ( 1 ) ⊆ 2 .
Si f derivable en z 0 y g es derivable en f (z 0 ), entonces g ◦ f es derivable en
z0, y
(g ◦ f ) (z 0 ) = g ( f (z 0 )) f (z 0).
4. Derivaci´on de la funci´on inversa en un punto. Sea f : −→ C inyectiva,
derivable en z 0 con f (z 0 ) = 0. Supongamos adem´as que f ( ) es abierto y
que f −1 es continua en f (z 0 ). Entonces, f −1 es derivable en f (z 0 ) y
( f −1 ) f (z 0 ) =

1
.
f (z 0 )

Veamos, a modo de ejemplo, c´omo este u´ ltimo resultado se prueba igual que
para funciones reales:
La derivabilidad de f en z 0 esequivalente a la continuidad en z 0 de la funci´on
g : → C dada por
g(z) =

f (z) − f (z 0 )
z − z0
f (z 0 )

si z ∈

\ {z 0 };

si z = z 0 .

Esta funci´on permite escribir para todo z ∈
f (z) − f (z 0 ) = g(z)(z − z 0 ),
y como ahora g es continua en z 0 con g(z 0 ) = f (z 0 ) = 0, se verificar´a g(z) = 0
en un entorno de z 0 . Poniendo w0 = f (z 0 ), si tomamos w ∈ f ( ) y z = f −1 (w),
w − w0 = gf −1 (w)

f −1 (w) − f −1 (w0 ) ,

y, teniendo en cuenta que f −1 es continua en w0 , para w en un entorno reducido
de w0 ,
f −1 (w) − f −1 (w0 )
1
;
=
w − w0
g f −1 (w)

Funciones holomorfas

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usando nuevamente la continuidad de f −1 en w0 y la de g en z 0 = f −1 (w0 ), vemos
que existe
1
f −1 (w) − f −1 (w0 )
lim
.
=
w→w0
w − w0
f (z 0 )
Ejemplos de funciones derivables.
1. Las funcionesconstantes son derivables en todo punto de C con derivada 0.
La funci´on identidad es derivable en todo C y su derivada es constantemente
1.
2. Por operaciones algebraicas con funciones derivables, todo polinomio es derivable en C y su derivada tiene la misma expresi´on que en R. Del mismo modo,
toda funci´on racional, puesta en forma irreducible, es derivable en todo C
salvo los ceros del...